平均曲率一定曲面の研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12440012
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 剱持 勝衛 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004404)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 大仁田 義裕 東京都立大学, 理学部, 教授 (90183764) ; 長澤 壯之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70202223) ; 清水 悟 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90178971) ; 間下 克哉 東京農工大学, 工学部, 教授 (50157187) ; 田崎 博之 筑波大学, 数学系, 助教授 (30179684)
• Keywords: 周期的回転面 / ベジエ曲線 / デローネー回転面 / 極小ラグランジアン部分多様体 / 積分幾何学 / グラスマン幾何学

Research Abstract

1.剱持(研究代表者)は平均曲率が一定という条件がそのようなな曲面についての種々な結果にどのような影響を与えているかという問題意識から,本年度は主として平均曲率が周期的関数であるような回転面を研究した.平均曲率が一定な回転面からはその値がゼロの時が懸垂面,その値がゼロでないときはデローネーの回転面しかないが,懸垂面は周期的でないのにたいし,デローネー回転面は周期的である.この違いは何に由来するのかをしらべることが問題である.私の研究により次が解明された : (1)3次元ユークリッド空間内の一般の回転面に対し,それが周期的となる必要十分条件を平均曲率関数だけの条件でもとめた.その条件は1変数関数である平均曲率関数に関する積分方程式として表される.逆に,その積分方程式を満たす周期的関数を一つ取ると,それを平均曲率に持つような周期的回転面を構成できる.(2)その積分方程式を幾何学的考察によって,完全に解くことができた.その応用として,ある種のベジエ曲線族から周期的回転面を構成できる.これらの結果を2編の論文にまとめて,投稿している.また以上の結果は2001年4月アメリカ,ホーボーケン市で開催されたアメリカ数学会や2001年9月中国上海市で開催された微分幾何学国際研究集会での招待講演で発表された.
2.研究分担者の諸研究は2002年2月19日に,東北大学でおこなれたこの研究に関する研究分担者会議で報告と今後の研究計画が議論されたが,今年度については,田崎は等質空間内の部分多様体に関する積分幾何学の研究で,大仁田は極小ラグランジアン部分多様体のハミルトニアン安定性について,また間下は6次元単位球面内のグラスマン幾何学について,それぞれ著しい成果を挙げた.

Research Products

• [Publications] 剱持 勝衛: "E. Cartan in the Bonnet Problem"数理解析研究所講究録. 1206. 45-54 (2001)
• [Publications] K.Kenmotsu: "Periodic mean curvature and Bezier curve"Proceedings of the Conference and the Symposium on Differentaial Geometry in honor of Prof. Su on the occasion of his 100^<th> birthday. (未定). (2002)