平均曲率一定曲面の研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12440012
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 剱持 勝衛 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004404)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 間下 克哉 東京農工大学, 工学部, 教授 (50157187) ; 小谷 元子 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50230024) ; 西川 青季 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004488) ; 田崎 博之 筑波大学, 数学系, 助教授 (30179684) ; 大仁田 義裕 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90183764)
• Keywords: 周期的回転面 / 平均曲率一定 / C-多様体 / エネルギー最小写像

Research Abstract

(1)平成14年度から引き続いて行ってきた3次元ユークリッド空間内の周期的回転面に関する研究は完結し、Osaka Jour. of Math.誌から発表された。主結果として、与えられた周期関数を平均曲率にもつ回転面がいつ周期的となるかについての判定条件を得たこと、そしてその条件を満たす周期関数の解法を得たことがある。特に、その系として、滑らかな平面閉曲線の曲率関数から周期的回転面の1径数族を得ることができたことや、ある種のベジエ曲線からの構成法を得たことがあげられる。
(2)研究目的の一つであった、C-多様体間の調和写像の研究に関してはC.Gherghe氏との共同研究により次の成果を得た。
・コンパクトケーラー多様体上のある種のトーラス束を考えることにより多くのコンパクトC-多様体の構成ができることを示した。
・次に、そのトーラス束の射影がC-多様体からケーラー多様体への写像としてそのホモトピー類の中でエネルギー最小であることを証明した。これの系として、我々はコンパクトC-多様体からコンパクトケーラー多様体への自明でない調和写像を得る方法を発見したことになる。調和写像は平均曲率一定超曲面において重要であるので、我々の結果も部分多様体研究に重要な寄与をするものと思う。
(3)平均曲率一定曲面に関する英文の書籍をアメリカ数学会より出版した。この書籍の内容は曲面の微分幾何学的取り扱いに関する導入から始まり、平均曲率一定回転面を研究代表者の創意と工夫を加味して詳しく説明、これらの準備の後に最近発見されたWenteトーラスの詳細な解説、平均曲率一定曲面の一般的性質の証明、最後にWeierstrass-Kenmotsu公式を証明している。平均曲率一定曲面に関する統一的記述としては世界で初めての書籍である。

Research Products

• [Publications] K.Kenmotsu: "Surfaces of revolution with periodic mean curvature"Osaka Jour.Math. 40. 687-696 (2003)
• [Publications] K.Kenmotsu: "Energy minimizer maps on C-manifolds"Diff.Geom.and Appl.. (掲載予定). (2004)
• [Publications] M.Kotani: "Lipschitz continuity of the spectra of the magnetic transition"J.Geom.Phys. 47. 323-342 (2003)
• [Publications] Y.Ohnita: "Hamiltonian stability of certain minimal Lagrangian submanifolds"Tohoku Math.J.. 55. 583-610 (2003)
• [Publications] 間下 克哉: "Chenの方程式をみたす6次元球面内の3次元CR部分多様体"数理解析研究所講究録. 1346. 91-98 (2003)
• [Publications] H.Tasaki: "Generalization of Kaehler angles and integral geometry II"Math.Nachr.. 252. 106-112 (2003)
• [Publications] K.Kenmotu: "Surfaces with constant mean curvature"American Math. Society. 142 (2003)