2000 Fiscal Year Annual Research Report
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12440020
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
酒井 隆 岡山大学, 理学部, 教授 (70005809)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
吉野 雄二 岡山大学, 理学部, 教授 (00135302)
田村 英男 岡山大学, 理学部, 教授 (30022734)
勝田 篤 岡山大学, 理学部, 助教授 (60183779)
加須栄 篤 大阪市立大学, 理学部, 教授 (40152657)
森本 雅治 岡山大学, 環境理工学部, 助教授 (30166441)
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| Keywords | リーマン多様体 / 曲率 / 計量不変量 / アレキサンドロフ空間 |
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| Research Abstract |
1.代表者の酒井はこれまでリーマン多様体における種々の計量不変量の間に成り立つ関係、計量不変量と空間構造の関連をテーマとして研究を続けてきた。また最近、勾配ベクトル場のノルムが一定な関数を許容するリーマン多様体の構造に関して、リッチ曲率が重要な役割を果たし標準的な捩れ積計量を特徴づけることを示し、またその摂動版を考察した。上記課題に関する科研費の援助の下でさらに次の問題設定の下で研究を続けている:
(1)等径不等式:n次元コンパクト・リーマン多様体の体積を直径のn乗で割った量を最大にする計量は何かを考察している。この場合(リッチ)曲率が非負という様な曲率に関する条件が必要で、2次元球面の場合でもAlexandrovよる予想があるが未解決である。最大値を取る計量は滑らかでないが曲率非負のAlexandrov空間になっている。リーマン多様体の収束理論と極限空間の幾何を用いて解決できないかを検討中である。
(2)距離関数の挙動と幾何:距離関数をモース理論的に取り扱うとき、曲率1以上で直径(半径)がπ/2のAlexandrov空間の構造が次に調べるべき場合であると思われるが、リーマン多様体の場合よりさらに多様である。他の計量不変量との関連まで込めて検討中である。
他にリッチ曲率が下から押さえられた多様体族とその極限について、最近のColdingやCheegerによる重要な仕事の検討を行いSurveys in Geometry報告集:「リーマン多様体とその極限」で報告した(私の分は「リッチ曲率が下から押さえられた多様体族とその極限」;147-241)。
2.上記課題に関連して分担者達の行った研究について簡単に触れる。勝田はグラフやリーマン多様体のスペクトルに関する逆問題の考察を続け、加須栄はリーマン多様体族におけるスペクトル距離とグロモフ・ハウスドルフ距離の関係を研究した。田村は磁場における散乱のAharonov-Bohm効果の数学的解析を行った。吉野は多様体の局所理論としての可換環のイデアル論・表現論で次元、grade等の不変量を与える一般的公式を与えた。また、森本は同変手術障害類の消滅定理を用いて閉円盤や球面上の群作用の研究をおこなっている。
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[Publications] Takashi Sakai: "Warped product, Ricci curvature and distance functions"Tohoku Mathematical Publications . (to appear).
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[Publications] Hideo Tamura: "Aharonov-Bohm effect in scattering by point-like fields at large separation"Ann.H.Poincare. 2. 1-51 (2001)
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[Publications] Mitsuhiro Miyazaki and Yuji Yoshino: "On heights and grades of determinatal ideals"Journal of Algebra. 235. 783-804 (2001)
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[Publications] Yuji Yoshino and Satoru Isogawa: "Linkage of Cohen-Macaulay modules over a Gorenstein ring "Journal of Pure and Applied Algebra. 149. 305-318 (2000)
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[Publications] Masaharu Morimoto: "Equivariant surgery with middle dimensional singular sets. II : Equivariant framed cobordism invariance "Trans.of Amer.Math.Soc.. (to appear).
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[Publications] Atsushi Kasue: "Convergence of Riemannian manifolds and Laplace operators I"Ann.Institut Fourier. (to appear).
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[Publications] 酒井隆(上野健爾,志賀浩二,砂田利一 編): "曲率(現代数学の土壤)"日本評論社. 210(158-180) (2000)
