非線形非平衡系に現れる周期パターンの分岐解析

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12440026
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 小川 知之 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (80211811)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 桑村 雅隆 神戸大学, 発達科学部, 助教授 (30270333) ; 鈴木 宏昌 滋賀大学, 教育学部, 講師 (60280450) ; 亀高 惟倫 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (00047218)
• Keywords: 周期進行波 / モード相互作用 / 振幅変調波 / エックハウス不安定性 / 勾配・歪勾配系

Research Abstract

周期構造の分岐、分岐解の安定性解析、2次分岐とそのダイナミクスなどの研究を、ある種の非線形波動方程式に焦点をあてて行った。安定な振幅変調波への分岐をまとめた"Mixed Mode Waves for the Benney and the Swift-Hohenberg Equations"、P.Bates、X-F.Chen and T.Ogawaは現在も投稿中であるが、これはレフェリーから振幅変調波と複素ギンツブルグ・ランダウ方程式におけるベンジャミン・フェール不安定性との関連を指摘されたことによる。関連する研究者を招聘しその研究と比較した結果、違いと位置づけが明らかになった。すなわちベニー方程式の振幅変調波は弱非線型領域で現れるのに対し、複素ギンツブルグ・ランダウ方程式の振幅変調波は大振幅で現れる。これは、複素ギンツブルグ・ランダウ方程式を普遍的だとして過度に重点を置く非線型波動の理論に一石を投じることになりうる結果である。さらに、5次の非線形性を持つスウィフト・ホヘンバーグ方程式の周期解の構造もモード相互作用により調べた。複合モードや単一モードまた定数状態が同時に安定である状況もあり、粉体の実験グループが見つけている孤立波パターンとも関連する。この大域分岐図の解析のために計算機により数値的に得られた分岐図を厳密に検証することを位相的方法を用いて行った。解をガレルキン近似した有限次元部分と無限次元部分に分けて孤立化近傍を区間演算を用いて計算機で構成する。対流のパターン形成の単純モデルであるスウィフト・ホヘンバーグ方程式で、実際に大域分岐図の検証を行った。これらは、部分的な結果を以下の専門誌に掲載予定である。より複雑な系へ適用可能な一般的な方法論は現在投稿準備中である。
一方、周期パターンの安定性を「勾配・歪勾配系」の概念からも解析した。その結果、生物の形態形成における活性化因子--抑制因子モデル方程式、熱対流におけるSwift-Hohenberg方程式が、勾配・歪勾配系の性質をみたすことを示すことができた。また、この性質をみたすことを示すことができた。また、この性質をもつ方程式における縞状のパターンには、Eckhaus不安定性とZigzag不安定性の2種類の不安定性が普遍的に観察されることが示された。さらに、勾配・歪勾配系の概念が、古典力学におけるハミルトン形式に深く関係していることも示された。これらの成果は以下の国際専門誌に掲載された。

Research Products

• [Publications] 平岡裕章, 小川知之, K.Mischaikow: "Swift-Hohenberg方程式の定常解大域分岐のConley指数を用いた検証"日本応用数理学会論文誌. (発表予定).
• [Publications] 亀高惟倫, 竹居賢治, 永井敦: "円板内の重調和作用素に対するグリーン関数とポアッソン関数"数理解析研究所講究録. 1302. 60-67 (2003)
• [Publications] Masataka Kuwamura, Eiji Yanagida: "The Eckhaus and zigzag instability criteria in gradient/skew-gradient dissipative systems"Physica D. 175. 185-195 (2003)