2003 Fiscal Year Annual Research Report
退化楕円型作用素の正値性と偏微分方程式の解の超局所解析
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12440038
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| Research Institution | KYOTO UN IVERSITY |
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Principal Investigator |
森本 芳則 京都大学, 大学院・人間・環境学研究科, 教授 (30115646)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
多羅間 茂雄 大阪市立大学, 工学部, 教授 (90115882)
上木 直昌 京都大学, 大学院・人間・環境学研究科, 助教授 (80211069)
高崎 金久 京都大学, 大学院・人間・環境学研究科, 教授 (40171433)
安藤 広 茨城大学, 理学部, 助手 (60292471)
森岡 達史 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (80239631)
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| Keywords | 無限次退化 / 超局所解析 / Fefferman-Phong不等式 / 半線形Diriclet問題 / 対数型Sobolev不等式 / 退化Monge-Ampere方程式 / 準楕円性 / Wick calculus |
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| Research Abstract |
代表者は、Xu教授と前年度までの共同研究で得られていた、無限次で退化する2階楕円型作用素を主要部とする半線型楕円型方程式のDirichlet問題に関する結果を発展させ、ある種の変分問題から由来する、"高次の対数オーダーの非線形項"をもつ半楕円型方程式のDirichlet問題に拡張し、解のregularityについても領域の境界まで込めて無限回微分可能になることを示した.更に、半線型無限次退化楕円型方程式のDirichlet問題を扱った際に得られた方法を無限次退化Monge-Ampere方程式の解のregularityの研究へ適用することを試みた.有限次退化の場合は既知の結果であるが、無限次退化のときは,弱い正値性しかなく,解の連続性についてもHolder連続性より弱い連続性から出発して解のregularityを上げて行く必要がある.また,評価を一様ノルムで実行する必要があり各種関数空間の補間理論が鍵となると思われる.また、空間方向の滑らかさが弱いシンボルに対して、Fefferman-Phongの不等式、或いは対数オーダーの正値性をもつ不等式を導くことがこの種の非線形問題では重要であり、その準備として、擬微分作用素の正値性に関するFefferman-Phongの不等式を論じた,最近のJ.-M.Bony, D.Tataruの論文を検討した.主要型擬微分作用要素の局所可解性の研究において初めてWick calculusを導入したN.Lerner教授との共同研究により,Tataruの論文ではFBI変換を用いて示された結果が,擬微分作用素をWick作用素で近似する方法でも導かれることを明らかにした.
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[Publications] 森本芳則, C-J.Xu: "Logarithmic Sobolev inequality and semi-linear Dirichlet problems for infinitely degenerate elliptic operators"Asterisque. 284. 245-264 (2003)
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[Publications] 森本芳則, C-J.Xu: "Nonlinear hypoellipticity for a class of infinitely degenerate elliptic operators"Colloque Tuniso-Francais a Hamammet, 16-21 Septembre 2003. (発表予定).
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[Publications] 森本芳則, C-J.Xu: "Regularity of weak solution for a class of infinitely degenerate ellitpic semilinear equations"Seminaire Equations aux Derivees Partielles Ecole Polytechnique.2003-2004. VII-1-VII-14 (2004)
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[Publications] N.Lerner, 森本芳則: "An aspect on the positivity of pseudodifferential operators via Wick calculus"数理研講究録. (未定).
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[Publications] 高崎金久: "An integral system on the moduli space of rational functions and its variants"Journal of Geometry and Physics. 47. 1-20 (2003)
