微分方程式と鏡映群(多面体調和関数・超幾何方程式・パンルヴェ方程式)

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12440043
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 岩崎 克則 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00176538)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 梶原 健司 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (40268115) ; 神本 丈 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (90301374) ; 吉田 正章 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (30030787) ; 齋藤 政彦 神戸大学, 理学部, 教授 (80183044) ; 稲場 道明 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助手 (80359934)
• Keywords: パンルヴェ方程式 / 超幾何方程式 / 多面体調和関数 / 鏡映群 / モジュライ空間 / 捩れコホモロジー群 / モジュラー群 / 安定放物接続

Research Abstract

岩崎克則(研究代表者)齋藤政彦(分担者)稲場道明(分担者)はパンルヴェ第VI方程式及びその多変数化であるガルニエ系を代数幾何学的な見地から研究した。この共同研究ではパンルヴェ方程式の相空間を安定放物型接続のモジュライ空間として構成し,パンルヴェ方程式の定義空間を幾何学的に自然な形で設定することに成功した。これにより,安定法物型接続のモジュライ空間からモノドロミー表現のモジュライ空間へのリーマン・ヒルベルト対応が極く自然に設定される。この対応を利用することにより,パンルヴェ方程式の構造の研究が幾何学的に見通し良く統一的に行えるようになった。例えばパンルヴェ方程式を特徴付ける性質であるパンルヴェ性の証明は概念的に自明になり,バンルヴェ方程式の対称性を記述するベックルント変換群の意味づけも明確になった。またパンルヴェ方程式の持つ古典解であるリッカチ解と単純孤立特異点の特異点解消との関連も明確になった。これらの結果に関して2篇の論文を著した。そのうちベックルント変換に関する論文は今年度中に印刷公表された。モジュライ空間とリーマン・ヒルベルト対応の構成についての論文は投稿中である。
岩崎克則はパンルヴェ第VI方程式の非線形モノドロミーを複素三次曲面へのモジュラー群の作用として書き下した結果の本論文を印刷公表した(速報版は昨年度に出版済み)。また差分方程式のコホモロジー理論とその超幾何方程式の隣接関係式への応用を展開した論文を出版した。吉田正章(分担者)は捩れコホモロジーの交点理論を共形場理論の相関関数へ応用した論文を出版した。神本文(分担者)はニュートン図形による特異点解消の手法を用いてベルグマン核の漸近展開を求めた論文を印刷公表した。高野恭一(分担者)は稲場・岩崎・齋藤のベックルンント変換に関する論文執筆にあたって,バンルヴェ方程式の簡約化に関する専門的知識を提供した。
岩崎克則は高山信毅と共同で研究集会「複素領域の微分方程式」(於神戸大学瀧川記念会館,2004年1月)を開催した。そこでは,本課題の研究成果を含めて超幾何方程式やパンルヴェ方程式の最新の研究成果が発表され,種々の活発な討議がなされ有益であった。この研究集会で上村豊(分担者)は写像の反復に関する実験結果について報告し問題提起を行った。また木村弘信(分担者)は短期共同研究「複素領域における微分方程式の大域解析と漸近解析」(於京都大学数理解析研究所,2003年10月)を主催した。この研究集会においても,木村弘信による一般幾何関数の捩れコホモロジー群の基底に関する結果や,岩崎克則によるパンルヴェ方程式の幾何学など本研究課題の研究成果が発表された。

Research Products

• [Publications] Katsunori Iwasaki: "Isolated singularity, Witten's Laplacian and duality for twisted de Rham cohomology"Communications in Partial Differential Equations. 28(1-2). 61-82 (2003)
• [Publications] Katsunori Iwasaki: "Cohomology groups for recurrence relations and contiguity -relations for hypergeometric systems"Journal of the Mathematical Society of Japan. 55(2). 289-321 (2003)
• [Publications] Katsunori Iwasaki: "An area-preserving action of the modular group on cubic surfaces and the Painleve VI equation"Communications in Mathematical Physics. 242(1-2). 185-219 (2003)
• [Publications] M.Inaba, K.Iwasaki.M-H.Saito: "Backlund transformations of the sixth Painleve equation in terms of Riemann-Hilbert correspondence"International Mathematics Research Notices. 2004(1). 1-30 (2004)
• [Publications] K.Mimachi, M.Yoshida: "Intersection numbers of twisted cycles and the correlation functions of the conformal field theory"Communications in Mathematical Physics. 234(2). 339-358 (2003)
• [Publications] Kenji Kajiwara: "On a q-Painleve III equation. II : rational solutions"Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 10. 282-303 (2003)