2001 Fiscal Year Annual Research Report
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12440049
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
松井 卓 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (50199733)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中屋敷 厚 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (10237456)
幸崎 秀樹 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20186612)
綿谷 安男 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00175077)
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| Keywords | 関数解析 / 数理物理 / 低次元量子系 / 無限自由度 / 非可換 |
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| Research Abstract |
1次元量子スピン系の厳密統計力学の理解のための関数解析的研究を続けた。CUNTZ代数の表現とそのゲージ不変部分代数であるUHF代数の並進不変状態の性質に関する研究、CUNTZ代数の一般化である両側双加群代数の構造の研究、作用素平均とユニタリー不変ノルムの研究を行った。これらの研究から得た成果は次ぎに述べるものである。
(1)CUNTZ代数と非可換転送作用素の関係:1次元格子上の量子スピン系の並進不変状態がUHF代数のある完全正値写像の合成を使い表されることは既に知られている。しかし、並進不変状態のGNS表現とこの完全正値写像の具体的関係はこれまで知られてなかった。この完全正値写像しばしば標語的に古典系での転送作用素であると言われてきたが、この研究では1次元シフトを片側無限系への制限を考えることで得られるUHF代数の準同型の左逆作用素として上述の完全正値写像が得られることを示した。この結果、Fannes, Nachtergaele, Werneが考えたfinitely correlated stateは常に、C^*-finitely correlated stateとして表されることが分かり、副産物的成果として混合性のあるfinitely correlated stateでは、常に(非局所的観測量に対しても)相関関数が一様指数的減衰することが証明できる。さらに中心極限定理の成立も分かる。
(2)1次元量子スピン系の研究で、密度行列繰り込み法は数値解析しやすいため盛んに使われる。しかし、数学的な基礎付けがないため多くの研究で、経験則にたより試行状態を選択している。我々の研究では、基底状態でのCUNTZ代数の表現とUHF代数の表現の関係を使うことで、対称性についての密度行列繰り込み法における作業仮説の数学的証明ができることが分かった。例えば、SU(2)不変な並進不変純粋状態を得るためには、試行状態を与える等長行列にはある種のシンメトリーの制限があることが分かる。一般のコンパクト・リー群でも原理的には、この制限条件は、テンソル積表現の既約分解から求められることが分かった。
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[Publications] Taku Matsui: "On non-commutative Ruelle transfer operator"Reviews in Mathematical Physics. 13・10. 1183-1201 (2001)
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[Publications] Taku Matsui: "The split property and the symmetry breaking of the quantum spin chain"Communications in Mathematical Physics. 218・2. 393-416 (2001)
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[Publications] T.Kajiwara, Y.Watatani: "Hilbert C^*-bimodules and countably generated Cuntz-Krieger algebras"Journal of Operator Theory. 45・1. 3-18 (2001)
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[Publications] T.Kajiwara, Y.Watatani: "C^*-bimodules and continuous Cuntz-Krieger algebras"Journal of Mathematical Society of Japan. 54. 35-59 (2002)
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[Publications] A.Nakayashiki, F.Smirnov: "A.Cohomologies of affine hyperelliptic Jacobi varieties and integrable systems"Communications in Mathematical Physics. 217・3. 623-652 (2001)
