モノイダルカテゴリーの研究

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640003
• Research Institution: Hirosaki University
• Principal Investigator: 丹原 大介 弘前大学, 理工学部, 助教授 (50163712)
• Keywords: ホップ代数 / テンソルカテゴリー / バーンサイド環

Research Abstract

1.Aが有限次元半単純ホップ代数で、自己双対的とする。A加群全体のカテゴリーとベクトル空間全体のカテゴリーの直和に、テンソルカテゴリーの構造がはいることが分かる。これは、山上氏との共著論文(1998年)において、自己双対性をもつアーベル群から構成したテンソルカテゴリーの自然な一般化である。
2.ベクトル空間のカテゴリーのいくつかの直和で、有限群Gの両側作用をもつものは、両側G集合と、その上の2コサイクルによって分類される。両側加群のテンソル積と同様に、このようなカテゴリーどうしのテンソル積が考えられる。テンソル積を両側G集合と2コサイクルによって記述することができる。途中、接合積の単純成分への分解が関係し、完全に群のコホモロジーの演算だけでの記述はできていない。
3.有限群Gに対し、両側G集合のバーンサイド環(非可換)の研究を始めた。この環には、イデアルによるフィルトレイションが入り、フィルトレイション商を調べることに行き着く。その商は、Gの部分群Hとその正規部分群Kの組でH/Kの同型類が一定のものの全体からつくられる環である。一般的には困難に見えるので、Gが基本アーベルp群の場合を調べた。H/Kの位数がpのときは、環の構造が分かる。H/Kの位数がpの自乗のときも、大体わかる。

Research Products

• [Publications] D.Tambara: "A duality for modules over monoidal categories of representations of semisimple Hopf algebras"Journal of Algebra. (in press).
• [Publications] D.Tambara: "Invariants and semi-direct products for finite group actions on tensor categories"Journal of the Mathematical Society of Japan. (in press).