2002 Fiscal Year Annual Research Report
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12640009
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
佐藤 孝和 埼玉大学, 理学部, 助教授 (70215797)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
権 寧魯 埼玉大学, 理学部, 助手 (30302508)
柳井 久江 埼玉大学, 理学部, 講師 (10008865)
竹内 喜佐雄 埼玉大学, 理学部, 教授 (00011560)
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| Keywords | 有限体 / 非アルキメデス的局所体 / フロベニウス置換 |
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| Research Abstract |
本年度の研究では、前年度に得られた標数が小さい有限体上定義された楕円曲線の有理点の個数を高速に求めるアルゴリズムがどのような範囲の関数に対して適用できるかという問題への一つの十分条件を得た。その応用として奇数標数の有限体上の楕円曲線の位数計算の最終段階であるノルム計算の領域計算量を削減することができた。
有限体のみに依存する事前計算を認めるとフロベニウス置換を拡大次数に依存しない回数の乗算で評価することができる。楕円曲線の標準持ち上げる記述する方程式をフロベニウス置換とそれ以外に分解して考えると、後者はある非アルキメデス的局所体上の解析関数になる。この関数は縮小写像であり、その不動点が標準持ち上げのj不変量を与える。そこで見方を変えて非アルキメデス的局所体上の解析関数が与えられたときそれらの高階導関数がどのような評価式を満たせば上述のアルゴリズムの一般化が構成できるかを考察し、一つの十分条件を得た。ここで、考えている関数の解析性が重要である。実際、非アルキメデス的局所体上では微係数が恒等的にゼロになる単射がデュドネにより構成されている。このような関数では微係数の評価が高速アルゴリズムに結び付かない。
上記考察は有限体の乗法群のタイヒミューラー持ち上げの構成に応用された。その結果、もともとの問題:楕円曲線の有理点の個数をどうやって素早く求めるかということにたいして、その最終段階に現れるノルム計算を標数2の場合と同様、(計算時間・領域を損なうことなく)指数関数と対数関数を用いて行うことができることを明らかにした。
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[Publications] T.Satoh, B.Skjernaa, Y.Taguchi: "Fast computation of canonical lifts of elliptic curves and its application to point counting"Finite fields and their appl.. 9. 89-101 (2003)
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[Publications] Y.Gon, M.Tsuzuki: "The resolvent trace formula for rank one Lie group"Asian J. Math.. 6. 227-252 (2002)
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[Publications] T.Satoh: "On p-adic point counting algorithms for elliptic curves over finite fields"Lect. Notes in Comput. Sci.. 2369. 43-66 (2002)
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[Publications] Y.Gon: "Generalized Whittaker functions on SU(2, 2) with respect to the Siegel parabolic subgroup"AMS. viii+116 (2002)
