| Research Abstract |
(1)rigid geometryの枠組の中でのKummer-Artin-Schreier-Witt理論の展開,
(2)形式群の理論と関連したKummer-Artin-Schreier-Witt理論の具体的な記述,
(3)Kummer-Artin-Schreier-Witt理論とHasseのp^n-primary elementの理論との関係が研究目標であったが,(2)について目覚ましい結果を得た.
Z[M]代数Aに対して,古典的なWitt vectorの構成を敷衍して,加法群W(A)の変形W^<(M)>(A)を定義した.W^<(M)>(A)はW(A)加群の構造を持ち,対応(a_0,a_1,a_2,...)→(Ma_0,Ma_1,Ma_2,...)はW^<(M)>(A)からW(A)へのW(A)準同型となる.さらに,古典的なWitt vectorの理論と同様にW^<(M)>(A)の上にFrobenius写像F^<(M)>とVerschiebung写像Vが定義され,古典的な場合と同様の性質が成立する.さて,Kummer-Artin-Schreier-Witt理論では〓<(M)【chemical formula】>で記される代数群が重要な役割を持ったが,〓<(M)【chemical formula】>のzero sectionに沿うformal completion〓<(M)【chemical formula】>はformal group law f(X,Y)=X+Y+MXYを持つ形式群Spf A[[T]]に他ならない.W^<(M)>(A)が〓<(M)【chemical formula】>のp-typical curveのなすCartier加群C(〓<(M)【chemical formula】>)に同型であることが第1の主結果である.さらに,W^<(M)>(A)のD_A加群としてのfree resolutionの記述が第2の主結果である.これによって,Hom_<D_A>(W^<(M)>(A),W^<(Λ)>(A)),Ext^1_<D_A>(W(^<(M)>(A),W^<(Λ)>(A))の簡明な記述を得るが,それぞれはHom_<A-gr>(〓<(M)【chemical formula】>,〓<(Λ)【chemical formula】>),Ext<1【chemical formula】>(〓<(M)【chemical formula】>,〓<(Λ)【chemical formula】>)に同型である.Ext^1_<D_A>(W^<(M)>(A),W^<(Λ)>(A))の元はD_Aに成分をもつ特殊な2次の上三角行列によって表示されるが,p^2次のKummer-Artin-Schreier-Witt理論に対応する行列は特徴のある形をしており,それはp^n次のKummer-Artin-Schreier-Witt理論に対応するn次の上三角行列のあるべき形を示唆している.
現在,2次元の場合の詳細を〈A note on extensions of algebraic and formal groups,V〉としてまとめている所である.
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