アラケロフ幾何学におけるディオファントス近似不等式とギャップ原理

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640042
• Research Institution: Nihon University
• Principal Investigator: 河野 典子 日本大学, 理工学部, 教授 (90215195)
• Keywords: ディオファントス近似 / 楕円曲線 / 有理点 / 整数点 / abc予想 / 対数一時形式 / p進距離 / 超楕円曲線

Research Abstract

ディオファントス問題とは、整数解に特に興味を持って不定方程式と解く問題の総称で、ディオファントス不等式とは、そのために有効な近似不等式である。研究代表者はまず代数曲線における整数点の研究に用いられるWirsingの連立不等式について考えた。代数曲線ではその種数で整数解の有限性と無限性が分かれるのが一般的であるが、Wirsingの連立不等式では、連立不等式の指数部分、すなわち代数曲線における種数に相当する部分が同じとなる2つの不等式で、係数の異なる場合に解が有限個の場合と、無限個の場合の両方が存在することを調べた。この現象についていくつか証明できることをまとめ、不定不等式の解の有限性をあたえる条件の解明を、ライデン大学のJ.-H.Evertseと共同で与えた。なぜ同じ指数で整数解が有限個の場合と無限個の場合がでるかという疑問に対する、明解な予想も定式化した。
また、楕円曲線の有理点の代数的係数対数一次形式について、係数の高さに関しての最良評価を得たという論文も書いた。パリ大学のS.Davidとの共同研究である。種数2以上の代数曲線における整数点について、超楕円曲線型の方程式の場合に調べた結果をT.N.Shoreyと1997年に出版しているが、整数点のみならず、一部の素数を分母に許すS整数への一般化の考察に必要なp進対数一次形式も確立した。同じ手法で超幾何関数の値のディオファントス近似をM.Huttnerとともに得ることも出来たが、それはアーベル多様体でのフォーマルグループからアーベル対数関数を新しく定義したことの応用から従う。このp進対数一次形式はabc予想と深く関わるのそ、互いの関係を良く調べることも行った。p進対数1次形式の楕円曲線での意味ある近似を求める新しい方法も得た。

Research Products

• [Publications] Noriko HIRATA-KOHNO, M.HUTTNER: "Diophantine Approximation of values of Gauss' hypergeometric function"RIMS Kokyuroku. 1319. 230-235 (2003)
• [Publications] 平田典子(一部執筆): "数学辞典(服部晶夫 編集)第4版"岩波書店(印刷中).