無限遠の幾何学

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640069
• Research Institution: Osaka Kyoiku University
• Principal Investigator: 菅原 邦雄 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (20093255)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 町頭 義朗 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (00253584) ; 小山 晃 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (40116158) ; 片山 良一 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (10093395) ; 伊藤 仁一 熊本大学, 教育学部, 教授 (20193493) ; 印南 信宏 新潟大学, 理学部, 教授 (20160145)
• Keywords: Riemann多様体 / Liouville多様体 / 理想境界

Research Abstract

本研究においては、Gromovによって定式化された理想境界の幾何学的な意味付けを得るために、低次元を中心に各種具体的な空間の理想境界の形状を分析することを課題としていた。
Euclid空間の中の2次曲面はLiouville多様体としての定式化が知られている。特に、楕円放物面の理想境界は閉区間になることが代表者によって解明されているが、今年度は、その類似物として、双曲空間中の2次曲面について進展が得られた。特に二葉双曲面は、無限遠での膨張に関する前田の定数が有限で、測地線の方程式は、Euclid空間の中の楕円放物面と類似の表現をもつことが示された。低次元では測地線の挙動や無限遠の構造に関してもに類似性が確認された。すなわち、無限遠に発散する点列の到達する先として表せる無限遠点は、Liouville多様体としての二つの特異集合からの距離の差の極限が規定している。したがって理想境界は閉区間で、その両端はBusemann関数である。
一般の非コンパクトLiouville多様体においても、特異部分集合は二つの連結成分を持っている。それらからの距離の差が無限遠を規定しているものと期待されるが、それは今後に残された課題である。
また、付随的な結果として、極座標で表現された回転面をモデル空間として体積比較定理を精密に定式化し、定曲率空間をモデルとするものと同様の比較不等式を導出した。
この課題に関わって、各点が周期3の周期軌道の出発点となるような楕円以外の凸曲線をコンピュータによって解析した。このようなビリヤード軌道たちをConfiguration spaceで表現すると平行線族になり、無限遠の幾何として解釈することが可能である。

Research Products

• [Publications] Akira Koyama, Katsuya Yokoi: "Cohomological dimension and acyclic resolutions"Topology and its Appl.. Vol.120. 175-204 (2002)
• [Publications] Nobuhiro, I.: "Geometry of geodesies for convex billiards and circular billiards"Nihonkai Math. J.. Vol.13. 73-120 (2002)