多様体の位相不変量と保型形式

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640089
• Research Institution: Tsuda College
• Principal Investigator: 福原 真二 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (20011687)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 宮澤 治子 津田塾大学, 数学計算機科学研究所, 研究員 (40266276)
• Keywords: 多様体 / 位相不変量 / 保型形式 / デデキント和 / 結び目 / 絡み目

Research Abstract

研究代表者は、多様体の位相不変量として登場する一般デデキント和に注目し、この和と保型形式との関係を研究してきた。すでに出版済の論文"Modular forms,generalized Dedekind symbols and polynomials,Shinji Fukuhara,Math.Ann.310(1998)83-101"の内容を発展させる形で,捩れのある場合の理論を、論文"Twisted generalized Dedekind symbols,Shinji Fukuhara,J.Number Theory 82(2000)47-78"に発表した。この論文では、捩れをもった一般デデキント和の基本的構造を明らかにしており、一般デデキント和は捩れをもった保型形式と一対一に対応していること、捩れをもった一般デデキント和の相互法則は多項式で表されること、その多項式はオイラー多項式により具体的に表示られることなどが示されている。
今後に残された課題として一般デデキント和を(古典的デデキント和やアポストルの和のような形で)具体的に表示することがある。また、多様体や結び目の不変量としてどのような形の一般デデキント和が出現するかを調べる問題も残っている。この問いに対して、代表者は2橋結び目のアレキサンダー(コンウエー)多項式の係数に一般デデキント和が現れるという結果を既に得ており、現在論文にまとめている。
研究分担者も、結び目のバシリエフ不変量が局所変形でどう変化するかを調べ、その結果を論文"C_n-moves and polynomial invariants of links,Haruko Aida Miyazawa,Kobe J.Math.17(2000)99-117"に発表した。この論文はコンウエー多項式の係数の変化も問題にしており、代表者のデデキント和研究の観点からも興味ある結果である。今年度得られた結果をさらに発展させるべく、来年度も研究を継続していきたい。

Research Products

• [Publications] Shinji Fukuhara: "Twisted generalized Dedekind symbols"J.Number Theory. 82・1. 47-68 (2000)
• [Publications] Haruko Aida Miyazawa: "Cn-moves and polynomial invariants of links"Kobe J.Math.. 17・1. 99-117 (2000)