多様体の位相不変量と保型形式

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640089
• Research Institution: Tsuda College
• Principal Investigator: 福原 真二 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (20011687)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 宮澤 治子 津田塾大学, 数学計算機科学研究所, 研究員 (40266276)
• Keywords: 多様体 / 位相不変量 / 保型形式 / デデキント和 / 結び目 / 絡み目 / 楕円関数

Research Abstract

研究代表者の最近の研究の中心は、結び目や多様体の不変量として現れる整数論的関数にある。その中でも特に、Casson-Walker不変量やWitten不変量に現れるデデキント和に注目し、この和を一般化した一般デデキント和(Dedekind symbol)の性質を調べてきた。その結果、ヤコビ形式が与えられると、そこから系統的に一般デデキント和が得られることを発見し、論文"Dedekind symbols associated with J-forms and their reciprocity law, Shinji Fukuhara, J.Number Theory 98(2003)236-253"に発表した。また、この論文のでは、Apostolの一般デデキント和には生成関数があり、生成関数自身の相互法則(reciprocity law)を考えることができることを示した。その研究の過程で、生成関数の相互法則は三角関数に関する恒等式から得られることが解り、その結果を"New trigonometric identities and generalized Dedekind sums, Shinji Fukuhara, To appear in Tokyo J.Math."という論文にまとめ発表した。
次に、代表者は多様体や結び目の不変量としてどのような形の一般デデキント和が出現するかを調べる問題にとりかかった。この問いに対しては、2橋結び目のアレキサンダー(コンウェー)多項式の係数に一般デデキント和が現れるという結果を得て、論文。"Explicit formulae for two-bridge knot polynomials, Shinji Fukuhara, To appear in J.Austral.Math.Soc."にまとめ発表した。また、この題目で中国の北京大学数学系コロキウムにおいて講演を行った。
研究分担者も、結び目のバシリエフ不変量が局所変形でどう変化するかを調べ、その結果を論文"SC_n-moves and(n+1)-st coefficients of the Conway polynomials of links, Haruko Aida Miyazawa, preprint"にまとめ発表した。

Research Products

• [Publications] Shinji Fukuhara: "Dedekind Symbols asscciated with J-forms and their reciprocity law"J.Number Theorg. 98. 236-253 (2003)
• [Publications] Shinji Fukuhara: "Explicit fermulae for two-bridze knot polynomials"J.Austral.Math.Soc.. (To appear).
• [Publications] Shinji Fukuhara: "New trigonometric identities and generalized Dedekind sums"Tokyo J. Math.. (To appear).