4-space内の曲面のstate-sum invariantについて

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640090
• Research Institution: Tokai University
• Principal Investigator: 志摩 亜希子 東海大学, 理学部, 講師 (50317765)
• Keywords: 3重点 / chart / crossing

Research Abstract

4次元空間に埋め込まれた曲面を研究するので、一つの方法として平面に上のグラフで辺に向きが付き、辺にラベルが付いて、ある条件を満たすもの(chartと呼ばれているもの)がある。これは4次元にある曲面を3次元に射影して、出来た曲面の交わりを更に平面に射影して出来たグラフと対応している。頂点として次数が1のもの、次数が4のもの(これをcrossingと呼んでいる)、次数が6のもののみからなるグラフである。n-chartと呼ばれるものは辺にラベルが1からn-1のどれかが付いている。鎌田氏により3-chartは次数が6の頂点がないものにC-move同値であることが示された。ここで、C-move同値とはchartに対応する4次元内の曲面のambient isotopy classを変えないchartの間の変形である。4-chartでcrossingを高々1つしか持たない場合は永瀬氏と広田氏によって同様の結果が得られている。4-chartでcrossingを丁度2個持つ場合である条件(crossingがある意味近くにある場合)を満たすときはC-moveをしてどのような簡単なグラフに変形できるかを永瀬氏と相場氏によって研究されている。そのグラフとは次数が6の頂点がないもの、次数が6の頂点が丁度4個ある形のグラフである。今回はcrossingは離れていてもいいが、4-chartで次数が1のもの頂点が6個のとき次数が6の頂点がないものにC-move同値であることを示した。この条件をもつchartに対応する曲面は球面に対応する。このchartからの表示で次数が6の頂点を消すことの出来ない例を次に探して行きたい。

Research Products

• [Publications] Taizo Kanenobu, Akiko Shima: "Two filtrations of ribbon 2-knots"Topology and its Applications. 121. 143-168 (2002)
• [Publications] Akiko Shima: "Colorings and Alexander polynomials for ribbon 2-knots"Journal and Knot theory and its Ramifications. 11. 403-412 (2002)
• [Publications] Shin Satoh, Akiko Shima: "The 2-twist-spun trefoil has triple point number four"Transactions of the American Mathematical Society. (発表予定).