楕円曲面上の単純群主束の幾何

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640095
• Research Institution: Ritsumeikan University
• Principal Investigator: 成木 勇夫 立命館大学, 理工学部, 教授 (90027376)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 藤村 茂芳 立命館大学, 理工学部, 教授 (30066724) ; 中島 和文 立命館大学, 理工学部, 教授 (10025489) ; 石井 秀則 立命館大学, 理工学部, 教授 (60159671) ; 加川 貴章 立命館大学, 理工学部, 助教授 (90298175) ; 新屋 均 立命館大学, 理工学部, 教授 (70036416)
• Keywords: 楕円曲面 / q-変形 / q-量子化 / GBS-理論 / 単純楕円型特異点 / 有理二重点 / 量子群 / クンマー曲面

Research Abstract

楕円曲面上の単純群主束は楕円曲線上の単純群主束の一次元変形としても捉えられる。この一次元の変形パラメーターは、本来的に楕円曲線のモジュライであって、それ故このような変形は(この場合に限らず)一般的にq-変形と呼ばれている。(このqはヤコービの古典的なパラメーターであるが、通常このような変形を表す記号として用いられる。この変形は、物理とのアナロジーで言えば、当該数学的対象のq-量子化と呼ぶべきものである。)さて、グロタンディエク・ブリースコルン・スロドヴィの理論(所謂、GBS-理論)の延長として、単純楕円型特異点をある種の無限次元リー群の中に構成することが期待されていたが、そのために登場したのがヘルムケ・スロドヴィらの楕円曲線上の単純群主束の理論であった。したがって我々は更にこのような主束を上記の意味でq-量子化しなければならない。その際、主束のような幾何学的対象がどのように変容するかを直接的に表象するのは今なお困難と言わざるを得ない。何故ならば既にGBS-理論の有理二重点に対してさえ、q-量子化がなされていないからである。すなわち単純楕円型特異点の原型である特別な有理二重点(E_6,E_7,E_8)に対して、そのq-変形を視覚化することが先決課題なのである。
そこで我々は手始めとしてE_6-型有理二重点と密接に関係するところの、(複素射影空間内の)三次曲面のq-変形の研究に携わることにした。その結果、以前には概念としてのみ与えられていた単純群の極大トーラスのq-変形が、曲面自体のq-変形の方程式を通して明確かつ具体的に捉えられるようになった。(この量子化されたトーラスは、適当な量子群の中に埋め込まれることになろう。)また極めて興味ある一例においてであるが、この量子化された曲面がアーベル曲面、クンマー曲面などと簡単な代数的対応関係にあることも確かめられた。

Research Products

• [Publications] T.Kagawa: "Nonexistence of elliptic curves having everywhere good reduction and cubic discriminant"Proc.Japan Acad.. 76. 141-142 (2000)
• [Publications] S.Fujimura: "On projective transformations of complete Riemannian manifolds with constant scalar curvature"Mem.Inst.Sci.Engi.,Ritsumeikan Univ.. 59(未定). (2000)
• [Publications] O.Yamada: "A vivial theorem of eigenvalues of Dirac equations with a variable mass term."Mem.Inst.Sci.Engi.,Ritsumeikan Univ.. 59(未定). (2000)
• [Publications] K.Hara (with N.Ikeda): "Quadratic Wiener functionals and dynamics on Grassmannians"Prepr.of Math.Res.Centr., Warwick Univ..