連続体の基数不変量とその応用

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640124
• Research Institution: KOBE UNIVERSITY
• Principal Investigator: BRENDLE JORG 神戸大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (70301851)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 江田 勝哉 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90015826) ; 高橋 譲嗣 神戸大学, 発達科学部, 教授 (30197149) ; 角田 譲 神戸大学, 工学部, 教授 (50031365) ; 渕野 昌 中央大学, 工学部, 教授 (30292098) ; 加茂 静夫 大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (30128764)
• Keywords: 強制法の理論 / 無限組合せ論 / 実数上の集合論 / 連続体の基数不変量 / 自然集合上の置換群

Research Abstract

平成13年度は、反復強制法を用いて連続体の基数不変量を調べ、さらにそれらの代数学への応用についての研究も行った。特に、S.Shelahが創造したiteration along a templateという反復法を改良し、またshattered iterationという新しい技法を開発させた。研究の概略は以下の通りである。
(1)iteration along a template. Fの全ての異なった元の共通部分が有限集合になるとき、無限集合族Fはalmost disjoint familyと呼ばれる。Almost disjointness number aは、自然数上の最小の無限なmaximal almost disjoint familyの濃度として定義される。また、Gの全ての非恒等元がたかだか有限個の不動点を持つとき、Sym(ω)の部分群Gはcofinitaryと呼ばれる。最小のmaximal cofinitary groupの濃度をa(g)で表す。Iteration along a templateを使い、a(g)>max{a, non(M)}が無矛盾であることを証明した。更に、aの共終度が可算になることの無矛盾性も示した。
(2)shattered iteration. Cohen実数とランダム実数を加える複雑なプール代数系から成るshattered iterationという新しい反復手法を開発し、cov(M)=non(N)=N_2かつcov(N)=non(M)=N_3であることの無矛盾性を証明し、Millerの問題(本研究計画の問題1)に答えた。
(3)Sym(ω)の共終度。自然数集合上の置換群Sym(ω)の共終度c(Sym(ω))はG(α)から成る和集合がSym(ω)と等しいSym(ω)の真部分群の昇鎖G(α),α<κ,が存在するような最小の基数κである。また[ω]^ωの部分集合Gがgroupwise dense familyであるとは、次の二つの条件を満たすときにいう。(a)任意のX∈G, Y∈[ω]^ωに対して、Y almost contained in XならばY∈Gとなる。(b)任意のωの有限区間への分割I(n), n<ω,に対して、I(n),n∈A,から成る和集合がGの元であるA∈[ω]^ωが存在する。Groupwise density number gは、G(α)の共通部分が空集合となるgroupwise dense familiesの族G(α),α<λ,が存在するような最小の基数として定義される。MildenbergerとShelahはg<c(Sym(ω))の無矛盾性を証明した。本研究では、ZFCのもとでg【greater than or equal】c(Sym(⊃))を示し、Thomasの問題の後半(本研究計画の問題5の部分)に答えた。

Research Products

• [Publications] JORG BRENDLE: "CARDINAL INVARIANTS OF THE CONTINUUM, A SURVEY"京都大学数理解析研究所講究録「公理的集合論」. 1202. 7-32 (2001)
• [Publications] JORG BRENDLE: "EVASION AND PREDICTION III, CONSTANT PREDICTION AND DOMINATING REALS"JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN. (近刊予定).
• [Publications] JORG BRENDLE: "EVASION AND PREDICTION IV, STRONG FORMS OF CONSTANT PREDICTION"ARCHIVE FOR MATHEMATICAL LOGIC. (近刊予定).
• [Publications] JORG BRENDLE: "RECENT DEVELOPMENTS IN ITERATED FORCING THEORY"COMPLEXITY IN MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE (PROCEEDINGS, VIENNA, 2001). (近刊予定).
• [Publications] JORG BRENDLE: "MAD FAMILIES AND ITERATION THEORY"LOGIC AND ALGEBRA (PROCEEDINGS, ISTANBUL, 2001). (近刊予定).
• [Publications] KATSUYA EDA: "TREES, FUNDAMENTAL GROUPS AND HOMOLOGY GROUPS"ANNALS OF PURE AND APPLIED LOGIC. 111. 185-201 (2001)
• [Publications] KATSUYA EDA: "FUNDAMENTAL GROUPS OF ONE-DIMENSIONAL WILD SPACES AND THE HAWAIIAN EARRING"PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 130. 1515-1522 (2002)
• [Publications] KATSUYA EDA: "ON HOMOLOGICAL LOCAL CONNECTIVITY"TOPOLOGY AND ITS APPLICATIONS. (近刊予定).
• [Publications] KATSUYA EDA: "THE NON-COMMUTATIVE SPECKER PHENOMENON IN THE UNCOUNTABLE CASE"JOURNAL OF ALGEBRA. (近刊予定).
• [Publications] KATSUYA EDA: "THE FUNDAMENTAL GROUPS OF ONE-DIMENSIONAL SPACES AND SPATIAL HOMOMORPHISMS"TOPOLOGY AND ITS APPLICATIONS. (近刊予定).
• [Publications] KATSUYA EDA: "FREE SUBGROUPS OF FREE COMPLETE PRODUCTS"JOURNAL OF ALGEBRA. (近刊予定).
• [Publications] SAKAE FUCHINO: "ON THE WEAK FREESE-NATION PROPERTY OF P(ω)"ARCHIVE FOR MATHEMATICAL LOGIC. 40. 425-435 (2001)
• [Publications] SAKAE FUCHINO: "ON THE WEAK FREESE-NATION PROPERTY OF COMPLETE BOOLEAN ALGEBRAS"ANNALS OF PURE AND APPLIED LOGIC. 110. 89-105 (2001)
• [Publications] SAKAE FUCHINO: "ON REAL-VALUED MEASURABILITY"京都大学数理解析研究所講究録「公理的集合論」. 1202. 38-60 (2001)
• [Publications] SAKAE FUCHINO: "加法的関数の連続性について"中部大学工学部紀要. 37. 55-64 (2001)
• [Publications] SHIZUO KAMO: "PARTITION PROPERTIES ON Pκλ"JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN(予定). 54. 121-131 (2002)