多変数留数理論の代数解析とアルゴリズム

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640161
• Research Institution: NIIGATA UNIVERSITY
• Principal Investigator: 田島 慎一 新潟大学, 工学部, 助教授 (70155076)
• Keywords: Grothendieck留数 / 代数解析的局所コホモロジー / D-加群 / ホロノミック系 / グレブナ基底 / 孤立特異点 / ミルナー数 / チュリナ数

Research Abstract

D-加群の理論と計算代数の手法を用いて、多変数留数理論の研究を行い、諸々のアルゴリズムの研究・開発へ応用した。
1.与えられた代数的局所コホモロジー類の満たすホロノミック系が零階と一階の偏微分作用素で生成されるような場合に、これらの偏微分作用素を利用することで、多変数留数計算が可能となることを明らかにした。
2.代数的局所コホモロジー類が複雑なタイプの極を持つ場合には、一階の偏微分方程式系を用いただけでは、その代数的局所コホモロジー類を特徴づけることができない。この様な場合にも、多変数留数値を計算する方法を考案し、その有効性を明らかにした。
3.零次元多様体に台を持つ代数的局所コホモロジー類に対し,そのannihilatorとなる偏微分作用素を構成するアルゴリズムを導出した. その構成法に,更に,改良を加え,計算効率の良いアルゴリズムを与えた。
4.極大過剰決定系の理論を用いて、孤立特異点に付随した代数的局所コホモロジー類を研究した。孤立特異点が擬斉次とならない場合、ミルナー代数の双対空間に属するような代数的局所コホモロジー類の持つ複雑さを偏微分方程式系の言葉を用いて記述する方法を与えた
5.留数理論と随伴方程式系の概念を用いて,非同次線形微分方程式の局所可解条件を研究した. 収束べき級数の空間と形式べき級数のなす空間は,局所コホモロジー群と代数的局所コホモロジー群をその双対ベクトル空間として持つ. これらの位相ベクトル空間としての双対性は留数から導かれる. この事実に注目し,非同次微分方程式の局所可解条件を対応する随伴方程式系の同次解を用いて与えた. 形式べき級数の空間における可解条件を代数的に計算するアルゴリズムが構成可能であることを示した.
6.代数解析学に基づいて,Hermite-Jacobiの多変数補間積分の解析を行なった. 多変数補間積分の積分核を代数的局所コホモロジー類とみなすことにより,Grothendieck双対性が計算可能となることを示した.

Research Products

• [Publications] S.Tajima: "Grothendieck duality and Hermite-Jacobi formulas"Proc. Seventh International Conference on Several Complex Veriables, in Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis, Dekker. 503-509 (2000)
• [Publications] S.Tajima, Y.Nakamura: "An algorithm for computing the residue of a rational function via D-Modules"Josai Mathematical Monographes. 2. 149-158 (2000)
• [Publications] Y.Nakamura, S.Tajima: "Residue calculus with differential operators"Kyushu J. of Mathematics. 54. 127-138 (2000)
• [Publications] S.Tajima, Y.Nakamura: "An algorithm for the local residue with the viewpoint of D-modules"Proceedings of the second Congress of International Society for Analysis, its Applications and Computation congress, Kluwer. 809-817 (2000)
• [Publications] S.Tajima: "Algebraic analysis of multivariate Hermite interpolation formulas"Proceedings of the second Congress of International Society for Analysis, its Applications and Computation congress, Kluwer. 829-838 (2000)
• [Publications] S.Tajima: "代数的局所コホモロジー類のローラン展開とL.EhrenpreisのNoether作用素"京都大学数理解析研究所講究録. 1138. 87-95 (2000)
• [Publications] S.Tajima, Y.Nakamura: "Computing point residues for a shape basis case via differential operators"京都大学数理解析研究所講究録. 1158. 87-97 (2000)
• [Publications] S.Tajima, Y.Nakamura: "Conjectures about the differential operators in an algorithm for computing the residues"京都大学数理解析研究所講究録. 1159. 81-86 (2000)
• [Publications] S.Tajima: "非同次常微分方程式の可解条件について"京都大学数理解析研究所講究録. 1168. 66-79 (2000)
• [Publications] S.Tajima: "常微分作用素還におけるイデアルの共通部分"京都大学数理解析研究所講究録. 1171. 156-163 (2000)
• [Publications] S.Tajima, Y.Nakamura: "Local cohomology classes and dual bases for quasihomogeneous isolated singularities"Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis, Shandong Science and Technology Press. 213-218 (2000)
• [Publications] S.Tajima: "An algorithm for computing the Noetherian operator representations and its applications to constant coeffiecients holonomic PDE's"Proceedings of the Third International Conference Tools for Mathematical Modellin. 154-160 (2001)
• [Publications] Y.Nakamura, S.Tajima: "代数的局所コホモロジー類の満たすホロノミック系の構成法について"京都大学数理解析研究所講究録. 1199. 70-89 (2001)
• [Publications] S.Tajima: "偏微分作用素を用いた多変数留数計算アルゴリズムと中国剰余定理"京都大学数理解析研究所講究録. 1199. 51-69 (2001)
• [Publications] S.Tajima, Y.Nakamura: "Unimodal例外型特異点における代数的局所コホモロジー類"京都大学数理解析研究所講究録. 1211. 155-165 (2001)
• [Publications] S.Tajima, Y.Nakamura: "Milnor algebraに付随したholonomic系について"京都大学数理解析研究所講究録. 1212. 133-143 (2001)
• [Publications] S.Tajima: "ロドリーグの公式について"京都大学数理解析研究所講究録. 1212. 65-75 (2001)
• [Publications] S.Tajima, Y.Nakamura: "A study of semiquasihomogeneous singularities by using holonomic system"京都大学数理解析研究所講究録. 1233. 51-66 (2001)
• [Publications] S.Tajima: "Algorithms for computing Grothendieck local residues ---improvement with a rescue step---"京都大学数理解析研究所講究録. 1233. 67-81 (2001)
• [Publications] E.G.Kwon, K.H.Shon, S.Tajima: "Relations of pseudoconvex domains and Riemann domains in several complex variables"Korean J. of Math. (to appear). (2002)
• [Publications] S.Tajima: "Inhomogeneous ordinary differential equations, local cohomologies and residues"International conference on finite or infinite dimensional complex analysis, Kluwer. (to appear). (2002)
• [Publications] S.Tajima: "Hermite-Jacobi多変数補間積分とホロノミックD-加群"京都大学数理解析研究所講究録. (掲載予定). (2002)
• [Publications] S.Tajima: "多変数留数のbiorthogonal基底(双対基底)と偏微分作用素"京都大学数理解析研究所講究録. (掲載予定). (2002)
• [Publications] S.Tajima: "Holonomicな定数係数線形偏微分方程式系と Grothendieck duality"京都大学数理解析研究所講究録. (掲載予定). (2002)
• [Publications] Y.Nakamura, S.Tajima: "代数的局所コホモロジー類の満たすホロノミック系の構成法についてII"京都大学数理解析研究所講究録. (掲載予定). (2002)
• [Publications] S.Tajima: "非同時常微分方程式の可解条件について II"京都大学数理解析研究所講究録. (掲載予定). (2002)