Log-hyponormal operatorと古田不等式の研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640187
• Research Institution: Tohoku Pharmaceutical University
• Principal Investigator: 棚橋 浩太郎 東北薬科大学, 薬学部, 助教授 (90142398)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 三浦 康英 岩手大学, 人文社会科学部, 教授 (20091647) ; 武元 英夫 宮城教育大学, 教育学部, 教授 (00004408)
• Keywords: Furuta inequality / p-hyponormal operator / log-hyponormal operator

Research Abstract

古田が1987年にレブナー、ハインツ不等式の拡張である古田不等式を発見してから、作用素論におけるこの分野の発展はめざましい。特に、古田不等式の不思議な形式とそれを満たす指数p, q, rの性質については、その後様々な発展があった。直接的には、安藤、日合のlog-majorizationの不等式を含むgrand古田不等式が発見されたが、それ以外にもchaotic orderに関する重要な不等式がいくつか導かれた。古田不等式を最初に利用したのはAluthgeだが、彼はAluthge変換という便利な道具をつくりp-hyponormal operatorの性質を解明した。本研究は古田不等式の発展とp-hyponormal operatorのp=0に対応するlog-hyponormal operatorの解明を目指すものである。
平成15年度において、棚橋は内山らと共同してclass A operatorのスペクトラムの孤立点に関するRiesz idempotentの性質を解明し、log-hyponormal, p-quasi hyponormal operatorと同様の性質があることを証明した。また、Heinz-Katoの不等式の一般化を図り、Schwarz型の不等式を証明し、さらにその不等式をみたす作用素単調関数を特徴づけた。また、長と共同してAluthge変換によるjoint spectrumの挙動を明らかにした。また、log-hyponormal operatorのtensor積はlog-hyponormalであること、また、その逆も成立することを証明した。
武元はフォンノイマン環の前共役空間を考えてフォンノイマン環の元に数域を定義し,ヒルベルト空間上の作用素の数域については、従来の概念と同等である事を示した。その結果,その作用素から生成されるフォン・ノイマン環の*一同型によってその作用素の数域が保存される事を証明した。
三浦はユークリッド空間における(錐体を保存する意味での)正値作用素はPerronペクトルをもつことを示した。またmatrix ordered Hilbert space上のヒルベルト・シュミットクラスの作用素がハーンの分解ができることを示し、正値写像がcompletely positive mapとcompletely co-positive mapの和にかけることを証明した。また、べきに関しての命題およびRadon-Nikodym型の定理を証明した。

Research Products

• [Publications] M.Cho, I.Jeon, I.Jung, J.Lee, K.Tanahashi: "Joint spectra of n-tuples of generalized Aluthge transformations"Revue de Roumanie Math. Pures et Applications. 46. 725-730 (2001)
• [Publications] K.Tanahashi: "An example of non-selfadjoint Risez idempotent for hyponormal operator"東北薬科大学一般教育関係論集. 15. 51-61 (2001)
• [Publications] K.Tanahashi, A.Uchiyama, M.Uchiyama: "On the Heinz-Kato-Furuta inequality"Proc. Kotac International Conference Operator Theory and Its Applications. 4. 129-134 (2002)
• [Publications] M.cho, K.Tanahashi: "Isolated point of spectrum of p-hyponormal, log-hyponormal operators"Integral Equations and Operator Theory. 43. 379-384 (2002)
• [Publications] K.Tanahashi, A.Uchiyama, M.Uchiyama: "Notes on the Heinz-Kato-Furuta-Uchiyama inequality"京都大学数理解析研究所講究録. 1259. 79-86 (2002)
• [Publications] M.Miura: "Remarks on selfdual cones"京都大学数理解析研究所講究録. 1259. 150-164 (2002)
• [Publications] H.takemoto, A.Uchiyama: "A remark on the numerical ranges of operators on Hilbert spaces"Nihonkai Mathematical Journal. 13. 1-7 (2002)
• [Publications] A.Uchiyama, K.Tanahashi: "On the Risez idempotent of class A operators"Mathematical Inequalities and Applications. 5. 291-298 (2002)
• [Publications] A.Uchiyama, K.Tanahashi: "Fuglede-Putnam's theorem for p-hyponormal or log-hyponormal operators"Glasgow Mathematical Journal. 44. 397-410 (2002)
• [Publications] K.Tanahashi: "Tensor product of log-hyponormal operators"北海道大学数学講究録. 73. 32-35 (2003)
• [Publications] M.Miura: "On order of operators preserving selfdual cones in standard forms"Far East J. Math. Sci. (FJMS). (to appear).
• [Publications] K.Tanahashi, M.Uchiyama: "On Schwarz type inequalities"Proceedings of American Mathematical Society. (to appear).
• [Publications] K.Tanahashi: "Putnam's inequality for log-hyponormal operators"Integral Equations and Operator Theory. (to appear).