大きなパラメータを持つ高階線型常微分方程式のWKB解析

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640195
• Research Institution: Kinki University
• Principal Investigator: 青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 教授 (80159285)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田澤 新成 近畿大学, 理工学部, 教授 (80098657) ; 泉 脩藏 近畿大学, 理工学部, 教授 (80025410)
• Keywords: 高階微分方程式 / 完全WKB解析 / 最急降下法 / ストークス現象 / ストークス曲線 / 積分表示 / レベル交叉

Research Abstract

当研究では大きな、パラメータを持つ高階線型常微分方程式の大域的性質を完全WKB法により研究することを目標としている。本年度の研究では昨年度の研究成果を基に主として3階の線型微分方程式に対して、実際に漸近解を解析接続したときに漸近挙動がどのように変化してゆくかについて、数多くの数値実験を行った。その結果次のことが明らかになった:考えている3階微分方程式自体は積分表示を持たず、適当な変数変換により積分表示が可能となるような方程式の場合、完全最急降下法により予想される元の方程式のストークス曲線は変数変換後の積分表示から得られるものと一致する。したがって完全最急降下法は解の漸近挙動の解析に有効であると考えられる。実際、少なくとも局所的には完全最急降下法によりストークス曲線が決定できることが証明できる。大域的にも正しいことの証明は現段階ではできていないが、完全最急降下法が実用上は極めて有用であることは確認できた.高階方程式のストークス曲線の交叉に付随して現れる「新しいストークス曲線」の起源として、「仮想変わり点」の概念が重要であることはすでに我々が明らかにしたが、固有値にレベル交叉の問題においては比較的容易に「仮想変わり点」が見出せることが明らかになった。これにより、この問題に関する接続を記述するストークス曲線が比較的容易に決定できることがわかった。

Research Products

• [Publications] T.Aoki, T.Kawai, Y.Takei: "On the exact steepest descent method : A new method for the description of Stokes curves"Journal of Mathematical Physics. 42・8. 3691-3713 (2001)
• [Publications] T.Aoki, T.Kawai, T.Koike, Y.Take: "On the exact WKB analysis for operators admitting infinitely many phases"数理解析研究所講究録. 1211. 197-211 (2001)