大きなパラメータを持つ高階線型常微分方程式のWKB解析

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640195
• Research Institution: KINKI UNIVERSITY
• Principal Investigator: 青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 教授 (80159285)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田澤 新成 近畿大学, 理工学部, 教授 (80098657) ; 泉 脩藏 近畿大学, 理工学部, 教授 (80025410)
• Keywords: 高階線型常微分方程式 / 無段階微分方程式 / 完全WKB解析 / 局所理論 / 変わり点 / ストークス曲線 / 接続問題 / WKB解

Research Abstract

当研究においては、大きなパラメータを持つ高階線型常微分方程式の完全WKB解析を確立することが大きな目標であるが、本年度の研究では局所理論に関連して次のような成果が得られた。
●高階線型常微分方程式に限らず、形式的に階数を無限大に拡張した作用素を考え、それに対しても完全WKB解析の局所理論が確立できる場合があることを見出した。このような作用素をWKB型微分作用素と名付けた。このカテゴリーの作用素はボレル変換が2変数の0階超局所微分作用素でボレル平面の変数を含まないものとして特徴づけられる。この事実によりボレル変換した作用素に対して超局所解析の手法と成果を活用できるので局所理論のみならず、仮想変わり点等、大域的な議論をすることもある程度可能であることがわかった。
●上で述べたWKB型微分作用素に対して完全WKB解析を展開する際に最も基本的となるのは、当然のことながら「WKB解」の概念である。階数が無限大のものも対象とするために、有限階の場合のような形式的議論が使えない。そこで代数解析的手法を用いてWKB解の概念を定式化し、そのもとで一般的仮定の元で有限階の場合と類似の構成が可能であることを示した。即ち、主要部を定める解析関数の存在を仮定すれば、低階項は代数的に逐次決定できることを証明した。
●WKB型微分作用素に対し、有限階の場合と同様に「変わり点」、「ストークス曲線」といった基本的概念が定義できることを示し、単純変わり点の近傍において、局所的なWKB解の接続問題が、その変わり点に関わるWKB解に注目すれば通常のエアリーの微分方程式の接続問題に帰着できることを証明した。
以上により、少なくとも局所理論に関しては無限階の微分作用素に対しても完全WKB解析を2階の場合と同様に展開できることがわかった。

Research Products

• [Publications] T.Aoki, T.Kawai, Y.Takei: "Exact WKB analysis of non-adiabatic transition probabilities for three levels"Journal of Physics A : Mathematical and General. 35. 2401-2430 (2002)
• [Publications] T.Aoki, T.Kawai, Y.Takei: "On the exact WKB analysis of operators admitting infinitely many phases"Advances in Mathematics. (掲載予定).
• [Publications] Shuzo Izumi: "Flatness of differentiable functions along a subset of a real analytic set"Journal d'Analyse Mathematique. 86. 235-246 (2002)
• [Publications] S.Izumi, S.Koike, T.-C.Kuo: "Computations and stability of the Fukui invariant"Compositio Mathematica. 130. 49-73 (2002)