マッシブな解ける模型と無限次元対称性

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640261
• Research Institution: Shinshu University
• Principal Investigator: 小竹 悟 信州大学, 理学部, 助教授 (40252051)
• Keywords: Calogero-Moser模型 / 古典平衡点 / Coxeter群 / ルート系 / 変形Viraroso代数 / Macdonald予想 / 変形量子化

Research Abstract

「マッシブな解ける模型(場の理論の模型及び格子模型)の保存量や可解性を保証しているのはどういう対称性か?」という問いに答えるべく,無限次元対称性や可解格子模型などについて研究を行っているが、今年度はこれらに密接に関連した可解模型であるCalogero-Moser模型についての研究を中心に行った。Calogero-Moser模型は古くから研究が行われているが,超対称Yang-Mills理論の厳密解を与えるSeiberg-Witten理論との関連,(変形)Virasoro代数・W代数との関連,など古典論・量子論共に興味深い性質を持った模型である。
Calogero-Moser模型はルート系に対して定義される模型であり,Corrigan-佐々木の研究により古典論に於いても様々な量が'整数値に量子化'されている事が指摘されたが,佐々木氏と共に模型の古典平衡点及びそれから作られる多項式を考察した。古典平衡点は,古典型ルート系(A_r,B_r,C_r,D_r)ではHermite, Laguerre, Jacobi, Chebyshevの多項式の零点であり(これらの直交多項式をプレポテンシャルから導く方法も与えた),例外型ルート系(E_6,E_7,E_8,F_4,G_2)及び非結晶型ルート系(I_2,H_3,H_4)では数値計算(I_2では解析解)により求め,これを基に様々なCoxeter (Weyl)群不変な多項式を計算した。古典平衡点の値自身は殆どの場合無理数なのだが,Coxeter群不変な多項式の係数は整数(有理数)になっている。何故整数になるかの理由は未だ分からない。またある多項式の定数項を見ると,Macdonald予想(既に証明済み)牛として知られる結果を再現している。
この他に変形量子化と等方的調和振動子についての研究等も行った。

Research Products

• [Publications] Y.Hara: "On Lepowsky-Wilson's Z-algebra"Contemporary Mathematics. 297. 143-149 (2002)
• [Publications] S.Odake: "Comments on the Deformed W_N Algebra"International Journal of Modern Physics. B16. 2055-2064 (2002)
• [Publications] S.Odake: "Polynomials Associated with Equilibrium Positions in Calogero-Moser Systems"Journal of Physics. A35. 8283-8314 (2002)