写像類群のコホモロジーと曲面束の特性類の位相幾何学的研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12740030
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 秋田 利之 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30279252)
• Keywords: 写像類群 / 曲面束 / 特性類 / 森田-Mumford類 / 同変ボルディズム / G-符号数 / 同変K理論 / スピン写像類群

Research Abstract

本年度は主に向きづけられた閉曲面の写像類群の森田-Mumford類の素数pを法とする還元の自明性、写像類群の有限部分群の森田-Mumford類と2次元同変ボルディズム群およびG-符号数との関係、同変コホモロジーの局所化定理と森田-Mumford類との関係の三つの課題を中心に研究を進めた。それぞれの課題について得られた成果を項目にわけて以下に述べる。
第1に素数pに対し、写像類群の部分群Gが閉曲面の余接束のmod pコホモロジーに自明に作用するならば、Gの森田-Mumford類はすべて自明であることを示した。とくにスピン写像類群のmod2森田-Mumford類は全て自明であることを証明した。
第2に昨年度に引き続き、2次元(有向)同変ボルディズム群と写像類群の有限部分群の森田-Mumford類との関係を研究した。まず有限群の2次元同変ボルディズム群から有限群の分類空間のコホモロジー群への準同型を導入し、その準同型を用いて奇数次の森田-Mumford類が記述できることを示した。さらにその準同型とG-符号数との関係をEichlerの跡公式などを用いて調べることにより、奇数次の森田-Mumford類の2倍がG-符号数で決まることの簡単な証明を得た。
第3に同変コホモロジーの局所化定理を用いて写像類群の有限部分群の森田-Mumford類の不動点公式(植村-河澄公式)の別証明を得た。さらに同変K理論の局所化定理を用いてコホモロジー表現のChern類との関係を調べた。

Research Products

• [Publications] Toshiyuki Akita: "Homological infiniteness of Torelli groups"Topology. 40・2. 213-221 (2001)
• [Publications] Toshiyuki Akita: "Homological infiniteness of decorated Torelli groups and Torelli Spaces"The Tohoku Mathematical Journal. 53・1. 145-147 (2001)
• [Publications] Toshiyuki Akita: "Periodic surface automorphism and algebraic independence of Morita-Mumford classes"Journal of Pure and Applied Algebra. 160・1. 1-11 (2001)
• [Publications] Toshiyuki Akita: "Nilpotency and triviality of mod p Morita-Mumford classes of mapping class groups of surfaces"Nagoya Mathematical Journal. (印刷中).