種類2以上の曲面の写像類群と円周上の曲面束の不変量に関する研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12740035
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 北野 晃朗 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (90272658)
• Keywords: 写像類群 / 曲面束 / L^2-トーション / 冪零商 / 降中心化列

Research Abstract

曲面の写像類群の代数的な構造という視点から円周上の曲面束の構造をもつ3次元多様体に対して、そのL^2-torsionと呼ばれる位相不変量に関する研究を高沢光彦氏(東京工業大 情報理工)、森藤孝之氏(東京農工大 工)らと共同で研究を進めた。曲面の基本群の降中心化列とそれから得られる冪零商を使って基本群の正則表現を近似する表現の列を構成し、それを使ってL^2-torsionの列T_k(k=1, 2....)を定義し、それらの持つ性質などに付いて考察を行った。基本的なものとして主に次のような結果が得られ、学会、研究集会などで発表。詳細に関しては現在論文3編を準備中である。
1.曲面束のモノドロミーを冪乗して、適当な有限被覆をとると曲面束が曲面と円周の直積になる場合、全てのkに対して、そのT_kの値は1になる。
2.T_1の値は曲面束のモノドロミーのファイバーのホモロジーへの作用(これは写像類群のジーゲルモヂュラー群への表現を考えることに対応)を使って、具体的に計算可能な公式を与えた。
3.曲面束のファイバーの種数が2以上でモノドロミーがトレリー群に含まれる場合、T_2がwell-definedで値はトレリー群のマグナス表現を用いて記述する公式を与え、非自明な値を与える具体例を調べた。
4.曲面束のファイバーの種数が1の場合、T_2の値は全て1となる。

Research Products

• [Publications] 北野晃朗, 高沢光彦, 森藤考之: "L^2-torsion of 3-manifolds"数理解析研究所講究録. 1172. 8-33 (2000)
• [Publications] 北野晃朗, 高沢光彦, 森藤考之: "L^2-torsion of a surface bundle over a circle and a hyperbolic volume"数理解析研究所講究録. 1223. 93-106 (2001)