有限群を基本群にもつ三次元多様体をデーン手術で生む結び目の特徴付け

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12740039
• Research Institution: Tokyo University of Agriculture and Technology
• Principal Investigator: 合田 洋 東京農工大学, 工学部, 助教授 (60266913)
• Keywords: 三次元多様体 / 結び目 / デーン手術 / レンズ空間 / ヘガード分解

Research Abstract

K(r)で結び目K上のsloperに沿ったDehn surgeryで得られる三次元多様体を表すこととする。予想「Kを双曲結び目とする。K(r)がレンズ空間になるとすると、Kは以下の2つの条件を満たす。(1)Kはファイバー結び目、(2)Kはトンネル数1」を解決する試みの第一歩として、1-1結び目のunknotting tunnelの振る舞いについて研究した。特に、曲面上のcurve complexという概念を用いて、いつトンネル数1の結び目がそのトンネルに付随した1-1分解を持つかを書き下すことに成功した。結果の一つは以下である。
Kを三次元球面S^3内の結び目とし、(S^3,K)がsemi-stabilized(2,0)-splittingを持つとする。このとき、以下の一つが成立する。(1)Kは自明な結び目、(2)Kはこの(2,0)-splittingに付随した1-1分解をもつ、(3)Kはトーラス結び目である。
ここで、semi-stabilizedという概念はHempelが導入したcurve complex上の距離を精密化した概念である。この結果は「Genus two Heegaard splittings of the exteriors of knots and the disjoint curve property」というタイトルの論文にまとめ投稿中である。
そして、現在はこの結果をふまえより一般の状況を解析するために、(2,0)-splittingがK-strongly irreducibleという条件を持つとき、Scharlemann-RubinsteinによるGraphicのテクニックを経由して得られる結果を検討中である。

Research Products

• [Publications] Hiroshi Goda: "Dehn surgeries on Knots which yield lens spaces and genera of Knots"Mathematical Preceedings of the Cambridge Philosophical Society. 129. 501-515 (2000)
• [Publications] Hiroshi Goda: "Levelling an unknotting tunnel"Geometry and Topology. 4. 243-275 (2000)
• [Publications] Hiroshi Goda: "Almost alternating diagrams and fibered links in S^3"Proceedings of the London Mathematical Society.