量子不変量の漸近挙動から得られる不変量の研究

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12740044
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 高田 敏恵 九州大学, 大学院・理数学研究院, 講師 (40253398)
• Keywords: 双曲結び目 / 3次元多様体の量子不変量

Research Abstract

双曲結び目の量子不変量の漸近挙動から,その双曲体積がえられるというKashaevの予想の解明について、以下のことを行った。
Kashaevの漸近挙動の考察の方法とは別の方法で、予想が証明されている二つの結び目、三葉結び目と8の字結び目について、それらの色つきジョーンズ多項式に、Kashaevの漸近挙動の考察方法を適用することにより、その方法による予想の解明における解析的な問題点の発見に努めた。また、数値実験により、その解析的な問題を回避可能だと予想される結び目のクラスについて研究した。
更に、3次元多様体の量子PSU(2)不変量についても、その「形式的」漸近挙動から、その双曲体積とChern-Simons不変量がでてくる例が発見されている。
一方、3次元多様体の量子不変量の漸近挙動については、Wittenによる予想があり、その中にも、Chern-Simons不変量が現れる。これら2つのChern-Simons不変量の出現の関係に注目した。まず、Wittenの予想において、量子不変量の中に、Chern-Simons不変量があらわれるしくみについて調べるために、レンズ空間を含む、ザイフェルト空間の量子SU(n)不変量を具体的に計算した。これは、これまでのザイフェルト空間の量子PSU(n)不変量の結果を拡張するものである。また、ここで得られた結果は、漸近挙動の考察に対して、非常にいい性質をもっており、ザイフェルト空間の量子不変量の漸近挙動についてのWittenによる予想の解明に大きな進展をもたらすことが期待される。