本質的タングル分解を持つ結び目に沿った整数的デーン手術

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12740049
• Research Institution: Gakushuin University
• Principal Investigator: 林 忠一郎 学習院大学, 理学部, 助手 (20281321)
• Keywords: デーン手術 / タングル分解 / 本質的ラミネーション / 圧縮不可能曲面 / ヘゴール分解 / 双曲構造 / 2橋結び目

Research Abstract

拡張された本質的タングル分解を持つ結び目の補空間に耐性のある本質的ラミネーションが入るかどうかを調べることが研究課題である。今年度は2つの3本紐のタングルに本質的に分解される結び目を考えた。まず、本質的ラミネーションの特別な場合である本質的圧縮不可能曲面について、それが結び目の補空間内に入ることを曲面を具体的に構成することによって証明した。また、それは非整数的デーン手術に対しては耐性を持つことを確認した。しかし、残念ながら、それが整数的デーン手術に対しては全く耐性を持たないことも証明した。そこで、曲面以外の本質的ラミネーションを考える必要が生じた。それに関しては、2つのタングルの少なくとも一方が以下のようなものでない場合に耐性を持つ本質的ラミネーションを持つことを確認した。つまり、3本のうち1本だけを考えると自明タングルであり、他の2本は互いに平行であり、最初の1本に対して概平行であるタングルの場合が、難しい場合として残った。この場合も、2つのタングルの互いに平行な2本が繋がって、結び目の中で長さ2の2つの弧になっている場合は、具体的に本質的ラミネーションを作ることができた。ただし、これがデーン手術に対して耐性を持つことの証明は、まだ完成していない。そのほかに、思いつきで次の研究をした。閉3次元多様体Mが種数2のへゴール分解されていて、結び目Kが片方のハンドル体のコアになっているとする。この分解がダブル・ディスジョイント・カーヴ・プロパティを持つならば、その結び目の外部は双曲的構造を持たないか、あるいはMは3次元球面内の2橋結び目あるいは2橋絡み目に沿ったデーン手術によって得られ、結び目Kはその2橋結び目ないし絡み目の双対結び目になっていることを証明した。ただし、これは、トンプソンのディスジョイント・カーヴ・プロパティと1種数1橋結び目に関する研究のアナロジーである。