2000 Fiscal Year Annual Research Report
完備リーマ多様体上シュレディンガー発展方程式の解の大域的構造
| Project/Area Number |
12740098
|
|---|
| Research Institution | University of Tsukuba |
|---|
Principal Investigator |
土居 伸一 筑波大学, 数学系, 助教授 (00243006)
|
|---|
| Keywords | 平滑効果 / シュレディンガー方程式 / リーマン多様体 / 基本解 / 解の滑らかさ |
|---|
| Research Abstract |
シュレディンガー発展方程式は、非相対論的量子力学において粒子の運動を記述する基礎方程式であり、その基本解の特異性の解析およびパラメトリックス(又は基本解)の構成は、スペクトル・散乱理論と並ぶ基本的な問題である。本研究では、漸近的に平坦なリーマン多様体上のシュレディンガー発展方程式の基本解の特異性を、それに対する解作用素の平滑効果の研究を通して解析することを目標とした。この研究の準備として昨年度、抽象的なヒルベルト空間において二つの自己共役作用素(粗く言って位置と運動量に相当する)に付随する重み付きソボレフ空間を考え、その二つの作用素との多重交換子の写像性質によって特徴付けられる交換子代数を導入し、そこでの漸近解析を研究した。さらにこの抽象的枠組みでの分散型発展方程式の解作用素に対する平滑効果を示した。今年度は、この抽象理論を完備リーマン体上のシュレディンガー発展方程式に適用する際に必要となる、交換子代数と擬微分作用素代数との関連をまず研究した。そして抽象理論を適用して得られる結果を擬微分作用素を用いた形に解釈し直し、超局所解析的手法を用いることにより主表象のハミルトン流の大域的挙動を反映した形に結果を精密化した。主結果を要約すると、シュレディンガー発展方程式の解作用素は、主表象のハミルトン流によって時間負の方向に捕捉されないすべての点において超局所平滑効果を持ち、時間負の方向に捕捉されるほとんどすべての点において超局所平滑効果を持たない。さらに超局所平滑効果に関しては、初期値の減衰度と解の滑らかさの上昇度は比例する。
|
