| Research Abstract |
本年度の研究では, 昨年度に引き続き水面波を記述する方程式である, Ostrovsky方程式の散乱問題に関する研究を行った. 昨年度の研究では, 非線形項が優臨界の場合は, 初期条件が適切な意味で小さければ, 方程式の解は時間大域的に存在し, さらに自由解に漸近することを示した. また, 非線形項が臨界脂数の場合には, ほとんど時間大域的に解が存在することを示した. そこで, 本年度の研究では, まず非線形項の指数が臨界, または劣臨界になる場合を調べた. その結果, 非線形項の指数が臨界, または劣臨界の場合, 方程式の解は自由解には漸近しないということを示すことが出来た. その後, 臨界指数の場合をさらに詳しく研究し, 解の挙動を得ることが出来た. 詳しく述べると, 初期条件が適切な意味で小さければ, 方程式の解は時間大域的に存在し, 更に, 自由解に位相の修正を加えたものに漸近することが分かった. これらの結果より, 小さい初期条件を与えた際のOstrovsky方程式の解の挙動を, 非線形項の指数により分類することに成功したといえる. またこの研究を通して, Ostrovsky方程式の線形部分に含まれる負の指数の微分の取り扱いについて注意しなければならない点を明らかにすることが出来た, ここで用いられた方法は, より複雑な線形項を持つ方程式を解析する際に重要になってくると考えられる. 特に水面波の方程式を空間二次元に拡張したKP方程式に関しては, 方程式の線形部分に負の指数の微分が含まれているため, 今回の解析で得られた結果をある程度, 応用することが出来るのではないかと考えられる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は, 前年度に引き続きOstrovsky方程式の研究を行うことにより, 非線形項の指数による解の挙動の分類をおおよそ完成させることが出来た. この結果は, 研究の目的としていた, 水面波の方程式の時間無限大での振る舞いについての答えを与えるものである.
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要のところで述べたが, Ostrovsky方程式の解の挙動に関する分類はおおよそ完成することが出来た. ただ, 非線形項の指数が劣臨界の場合に関しては, 自由解に漸近しないことは示せたが, 具体的な挙動を調べることが出来なかったので, これを今後の研究課題としたい. また, 当初の研究目的として挙げていたKP方程式についての問題も, 本年度の研究に用いられた結果をもとに, 引き続き研究を行いたい.
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