表現論に関わる代数幾何、組み合わせ論の研究

2012 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12J02113
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 疋田 辰之 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
• Keywords: Diagonal coinvariant / DAHA / Affine Springer fiber

Research Abstract

Diagonal coinvariantの二変数Frobenius級数をDyckpath等の組み合わせ論的モデルを用いて記述するShuffle予想と呼ばれる予想に関して、その組み合わせ論側に現れる対称多項式をA型アファインシュプリンガーファイバーのホモロジーを用いて表した。特にdinv statisticと呼ばれる量をアファインシュプリンガーファイバーのセルの次元として記述できることを示した。またその記述を用いることで、Dyck pathをn×rの格子(ただしnとrは互いに素)上の道であって対角線を越えないものに一般化したものに対してdinv statisticや同様の対称多項式を組み合わせ論的に定義し、Shuffle予想をA型有理Cherednik代数(RCA)の一般の有限次元既約表現に対して定式化した。これは元々のShuffle予想をrがn+1の場合として含んでおり、rをnで割った余りが1でないときには組み合わせ論的に新しい対象を与えている。またA型RCAの有限次元既約表現と(n,r)-トーラス結び目のKhovanov-Rozansky不変量との関係に関する予想と合わせて、ここで定義された対称多項式をSchur多項式で展開したときのhook型のYoung図形に対応する係数がnとrの入れ替えに関して対称であることが期待されていたが、この係数を組み合わせ論的に記述することによってこれを証明した。これは一般化されたShuffle予想に対する一つの証拠を与えており、一般の(n,r)に対する対称多項式の定義が意味のある一般化になっていることを示唆していると考えられる。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

Shuffle予想そのものを証明することはできていないが、それに対する証拠を一つ示すことができた。

Strategy for Future Research Activity

アファインシュプリンガーファイバ「を用いて記述される次数付けをDAHAの表現論を用いて理解することを試みる。