2013 Fiscal Year Annual Research Report
ダイナミカル・ヤン・バクスター写像の組み合わせ論的側面、および幾何学との関連
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12J02888
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
松本 ディオゴけんじ 早稲田大学, 理工学研究科, 特別研究員DC2
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| Keywords | ヤン・バクスター写像 / 分配束 / バブルソート |
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| Research Abstract |
当該年度に実施した研究の主要な成果は以下の通りである.
1. ベキ等なヤン・バクスター写像の構成とバブルソートとの関係
全順序集合の要素をいくつか並べ, 隣り合う要素の大小を比較しながら整列させるソーティングアルゴリズムをバブルソートと呼ぶ. バブルソートは可積分系における重要な研究対象である超離散戸田分子方程式, 箱玉系と関係があることが知られており, バブルソートに現れる"隣り合う2元を大小関係に従って並べ替える写像"は全順序集合上のベキ等なヤン・バクスター写像を与えていることが示されている. そのため一般のベキ等なヤン・バクスター写像はバブルソートの一般化と考えられ, ベキ等なヤン・バクスター写像の構成は超離散可積分系を理解するための新しい視点を与える重要な研究対象であると考えられる.
本研究では, 分配束(全順序集合を含む代数系)上のベキ等なヤン・バクスター写像を考察することにより, 二つの非可換な二項演算を持つプレ・半環に吸収律を緩めた条件を追加して得られる代数系からベキ等なヤン・バクスター写像が構成されることを示した. また, この代数系は零環(積が零元となる自明な環)を含んでおり, 去年度研究をした半群上のベキ等なヤン・バクスター写像の延長上の研究である.
2. 上述の代数系の構造と余積の調査
分配束は上述した代数系の重要な例であり, 上述の代数系で消約律や可換律が成立をするものを考えることにより, 分配束が得られることを示した, また, 適切な条件を考えることによりこの代数系上の余積の族が得られることも示した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初目標としていたユニタリ条件を満たすダイナミカル・ヤン・バクスター写像についての進展は少なかったが, ベキ等なヤン・バクスター写像, およびダイナミカル・ヤン・バクスター写像については組合せ論的な側面, 超離散可積分系との関わりについては組合せ論, 超離散可積分と結びつく重要な成果が得られたため.
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| Strategy for Future Research Activity |
超離散戸田分子方程式, 箱玉系はバブルソートと関係することが知られている. バブルソートは全順序集合上のベキ等なヤン・バクスター写像を考えることにより得られるため, ベキ等なヤン・バクスター写像を調べることにより, 超離散可積分系との新しい関係の記述が期待される. その為, 今後はベキ等なヤン・バクスター写像についての分類とソリトンセルオートマトンの関係について研究をする予定である.
また, 現在までの研究で得られた新しい代数構造上に現れる余積の構造についても調べ, ベキ等なヤン・バクスター写像のダイナミカル化についても研究をする予定である.
ユニタリー条件を満たすダイナミカル・ヤン・バクスター写像については, 今後も離散可積分系との関係を調べていく予定であるが, より広くヤン・バクスター写像全体の中で各条件がどのように働き, 可積分系と関係しているかについても調べる予定である.
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