2012 Fiscal Year Annual Research Report
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12J04805
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
菊田 伸 上智大学, 理工学部, 特別研究員(PD)
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| Keywords | orbifold Kahler-Einstein計量 / 正規化されたorbifold Kahler-Ricci流 / 境界上の極限 / (放物型)複素Monge-Ampere方程式 |
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| Research Abstract |
今年度は,対数的標準因子が豊富な準射影的多様体の上のあるorbifold Kahler-Einstein(KE)計量と(正規化された)Kahler-Ricci(KR)流の列に対して,その境界上の極限について考察した.そして境界因子が単純正規交差を持つ場合に,その列が,境界因子の規約成分のいくつかの共通部分上では,それぞれ完備なKE計量とKR流に収束することを示した.標準因子の正値性は測度双曲多様体の持つべき性質として期待されており,従ってKE計量とKR流の性質を調べることは,測度双曲多様体に対する理解を深める上で意義があると考えられる.
この研究に関しての先攻研究としては,Tian-Yau, S. Bando, H. Tsujiによってorbifold KE計量の列は,射影多様体の内部において完備なKE計量に収束することが示されている.その一方で,内部の完備なKE計量とKR流の境界への漸近挙動に関しては,それぞれG. SchumacherとLott-Zhangによって境界上の完備なKahler-Einstein計量とKahler-Ricci流に(接方向に近づけたときに)漸近することが知られている.従って,orbifold KE計量とKR流の境界上の極限も完備なKE計量とKR流であると期待するのは自然であり,実際にそれが成り立つことを確かめたのが,私の本年度の結果である.
その証明はSchumacherの技法に依る.KR流の場合に簡潔に述べると,まず境界上のorbifold KR流を適切に内部に拡張し,それを内部のorbifold KR流のリファレンス計量と見なす.その時のポテンシャル函数が,ある特別な境界で発散する函数を掛けても(微分が)一様に有界であることを示すことが出来る.その議論の際に,その積函数に対する放物型偏微分方程式の楕円定数の一様性,そしてシャウダー評価等が重要となる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
測度双曲性そのものに関する研究成果をあげることが出来なかったが,測度双曲性を定める擬体積形式と同様に内在的であるKahler-Einstein計量とKahler-Ricci流に関する知識や成果を得ることが出来た.それらは全てRicci曲率が負に近い多様体特有であり,そして測度双曲性を満たす多様体はRicci曲率が負に近いと期待されているので,その性質を理解できたという点では進展していると考えている.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は測度双曲性のみだけでなく,それと関連したRicci曲率が非正な多様体に関する特有の性質(例えばKahler-Einstein計量とKahler-Ricci流等)も調べることが重要であると考える.それによって,測度双曲多様体の性質を研究する手段・方法そして感覚を様々得られるからである.ただし同時進行で測度双曲性自体の研究も行う予定である.例えばCaratheodory双曲多様体の余接束の巨大性について,主にCaratheodory計量という特異な複素Finsler計量の曲率を多重ポテンシャル論を駆使して調べることで,導きだすことを第一の目標としたい.また小林擬体積形式の曲率カレントの正値性に関する研究も継続して行うつもりである.そして辻元先生による予想の解決を目指したい.
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