非線形偏微分方程式の適切性に関する統一理論の構築

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13304008
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 小薗 英雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00195728)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 堤 誉志雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10180027) ; 柳田 英二 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80174548) ; 高木 泉 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40154744) ; 千原 浩之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70273068) ; 長澤 壯之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70202223)
• Keywords: ソボレフ空間 / ソボレフの不等式 / BMO / ソレノイダルベクトル場 / 渦度 / オイラー方程式 / ベゾフ空間 / 対数型一様評価

Research Abstract

非圧縮性理想流体の運動を支配するEuler方程式に関しては,初期条件がSobolev空間W^<s,p>(R^n),s(8184)16n/p+1に属するとき,古典解の時間局所存在が示されている.その古典解が実際は大域的に延長可能なのか,あるいは有限時刻でその滑らかを失うのかはn【greater than or equal】3に関しては未解決問題である.Beale-kato-Majda(BKM),Kato-Ponce(KP)は解uの渦度ω≡rot μに着目し,時刻t=Tでu(t)がW^<s,p>(R^n)に属する解として延長不能ならば,∫^T_O‖ω(t)‖_<L∞>dt=∞であることを示した.研究代表者の研究においては,彼らの爆発の基準(blow-up criterion)が,実際にはL^∞より広い空間であるBMOで成立することを証明した.キーとなる議論は,仮定∫^T_O‖ω(t)‖BMO^<dt>(8183)16∞なるもとで,解u(t)のL^∞(0,T;W^<s,p>(R^n))におけるアプリオリ評価を得ることである.BKM,KPらは,ソレノイダルベクトル場uにおける勾配▽uのL^∞-評価を渦度ωのL^∞-ノルムとu自身の対数型W^<s,p>-ノルム不等式によって確立し,アプリオリ評価を示した.ここに,s(8184)16n/p+1.本研究では,関数f自身に対して彼らの対数型不等式をBMO-空間へと一般化した:
‖f‖_<L∞>【less than or equal】C{1+‖f‖_<BMO>log(e+‖f‖w^<k,p>)} k(8184)16n/p
更に上記の不等式は,BMO-空間から斉次Besov空間B^^・^0_<∞,∞>へと拡張可能である:
‖f‖_<L∞>【less than or equal】C{1+‖f‖_B^^・^0_<0,r>log_^<1-1/r>(e+‖f‖_B^3_<p,q>)}, s(8184)16>n/p, 1【less than or equal】q, r【less than or equal】∞

Research Products

• [Publications] H.Kozono: "Weak solutions of the Navin-Stokes equations with the test fintions in L^n_w"Tohoku Math. J. (2). 53. 55-79 (2001)
• [Publications] H.Kozono: "Rapid time decay and net force to the obstacles by the Stokes flow in exterior domains"Math Ann.. 320. 709-730 (2001)
• [Publications] H.Kozono, T.Ogawa, H.Tanisaka: "Well-Posedness for the Benjamin equations"J. Korean Math. Soc.. 38. 1205-1234 (2001)
• [Publications] H.Kozono: "On Well-Posedness of the Navin-Stokes equations"Adv. Math. Fluid Mech. 207-236 (2001)
• [Publications] H.Kozono, T.Ogawa, Y.Taniuchi: "The critical sobolev inequalities and the regularly criterion"Math. Z.. 印刷中. (2002)
• [Publications] 小薗英雄: "Navin-Stokes方程式"数学. 印刷中. (2002)