頂点作用素代数のモジュラー不変のヒルベルト型、ジーゲル型への拡張を目指して

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440002
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 宮本 雅彦 筑波大学, 数学系, 教授 (30125356)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 森田 純 筑波大学, 数学系, 教授 (20166416) ; 内藤 聡 筑波大学, 数学系, 助教授 (60252160) ; 木村 達雄 筑波大学, 数学系, 教授 (30022726) ; 北詰 正顕 千葉大学, 理学部, 助教授 (60204898) ; 竹内 潔 筑波大学, 数学系, 講師 (70281160)
• Keywords: 保型形式 / 格子型頂点作用素代数 / モジュラー関数 / ヒルベルト型保型形式 / ジーゲル型保型形式 / モンスター単純群 / 頂点作用素代数 / ムーンシャイン予想

Research Abstract

頂点作用素代数は、モンスター単純群の既約表現の次元と楕円モジュラー関数の係数との関係から導きだされ、2次元共形場理論の厳密な数学公理を与えるものと現在理解されている。この頂点作用素代数の持つ性質のうちで最も注目されるのはモジュラー不変性で、既約加群に対するトレイス関数の集合がモジュラー群によって不変となっている。この結果は色々拡張され、頂点作用素代数の自己同型のトレイス関数に対するモジュラー不変性が示されたり、研究代表者の宮本によって、保形形式論で重要なデータ関数の拡張が頂点作用素代数に対して構成されたり、多変数型のトレイス関数のモジュラー不変性などが示されている。この点に注目して、多変数型のモジュラー形式を頂点作用素代数を使って構成しようというのが、この研究の目標である。初年度の平成13年度においては、研究代表者の宮本によって有理数ウエイトを持つ形のモジュラー不変性が加群の間の作用素においても成り立つことが示され、また、格子型頂点作用素代数に対しては適切な基底を使うことで、ジーゲル型の保型形式が構成された。特に、トレイスを選ぶという考え方を導入することで、大きく進展した。この結果を一般の頂点作用素代数に対してどの様に発展させるかが、これからの目標である。また、ヒルベルト型に対しては、多変数型に対する考察が進んでおり、これとヒルベルト型との関係を見つけるのが14年度以降の目標である。

Research Products

• [Publications] 宮本雅彦: "3-state Potts model and automorphisms of vertex operator algebras of order 3"Journal of Algebra. 239. 56-76 (2001)
• [Publications] 宮本雅彦: "Construction of codes and vertex operator algebras"Sugaku Expositios. 14. 205-217 (2001)
• [Publications] 宮本雅彦, 北詰正顕: "3-transposition automorphism groups of VOA"Advanced studies in pure mathematics. 32. 315-32 (2001)
• [Publications] 宮本雅彦: "Modular invariance of trace functions on VOAs in many variables"CRM Proceedings & Lecture Notes. 30. 131-138 (2001)
• [Publications] 内藤聡: "Character formula of Kac-Wakimoto type for generalized Kac-Moody algebras"J. Pure Appl. Algebra. 166. 105-123 (2002)