頂点作用素代数のモジュラー不変のヒルベルト型,ジーゲル型への拡張を目指して

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440002
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 宮本 雅彦 筑波大学, 数学系, 教授 (30125356)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 森田 純 筑波大学, 数学系, 教授 (20166416) ; 内藤 聡 筑波大学, 数学系, 助教授 (60252160) ; 木村 達雄 筑波大学, 数学系, 教授 (30022726) ; 北詰 正顕 千葉大学, 理学部, 教授 (60204898) ; 竹内 潔 筑波大学, 数学系, 助教授 (70281160)
• Keywords: 保型形式 / 擬トレイス関数 / モジュラー関数 / ヒルベルト型保型形式 / ジーゲル型保型形式 / モンスター単純群 / 頂点作用素代数 / ムーンシャイン予想

Research Abstract

頂点作用素代数は、モンスター単純群の既約表現の次元と楕円モジュラー関数の係数との関係から導きだされ、2次元共形場理論の厳密な数学公理を与えるものと現在理解されている。この頂点作用素代数の持つ性質のうちで最も注目されるのはモジュラー不変性で、既約加群に対するトレイス関数の集合がモジュラー群によって不変となっている。この結果は色々拡張され、頂点作用素代数の自己同型のトレイス関数に対するモジュラー不変性が示されたり、研究代表者の宮本によって、保形形式論で重要なテータ関数の拡張が頂点作用素代数に対して構成されたり、多変数型のトレイス関数のモジュラー不変性などが示されている。この点に注目して、多変数型のモジュラー形式を頂点作用素代数を使って構成しようというのが、この研究の目標である。初年度の平成13年度においては、研究代表者の宮本によって有理数ウエイトを持つ形のモジュラー不変性が加群の間の作用素においても成り立つことが示された。平成14年度では、モジュラー不変性の観点からトレイス関数の拡張を導入することができ、それにより、共形場理論で問題となっていたlogarithmic型のトレイス関数の数学的な意味を明確にすることに成功し、広い立場でモジュラー不変性が成り立つことを示した。また、これに対する条件が明確にされた。これを他の多変数型のトレイス関数に対しても拡張できるようにするのが15年度以降の目標である。

Research Products

• [Publications] 宮本雅彦: "A new construction of the moonshine vertex operator algebra over the real number field"Annals of Mathematics. (to appear). (2003)
• [Publications] 宮本雅彦: "VOAs generated by two conformal vectors whose tau involutions generate S_3"Journal of Algebra. (to appear). (2003)
• [Publications] 宮本雅彦: "Automorphism groups of Z_2 orbifold vertex operator algebras"Journal of Algebra. (to appear). (2003)