2004 Fiscal Year Annual Research Report
頂点作用素代数のモジュラー不変のヒルベルト型,ジーゲル型への拡張を目指して
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13440002
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
宮本 雅彦 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (30125356)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木村 達雄 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (30022726)
佐垣 大輔 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 助手 (40344866)
森田 純 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (20166416)
星野 光男 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 講師 (90181495)
北詰 正顕 千葉大学, 理学部, 教授 (60204898)
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| Keywords | 保型形式 / 擬トレイス関数 / モジュラー関数 / ヒルベルト型保型形式 / ジーゲル型保型形式 / テンソル積 / 頂点作用素代数 / ムーンシャイン予想 |
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| Research Abstract |
頂点作用素代数は、モンスター単純群の既約表現の次元と楕円モジュラー関数の係数との関係から導きだされ、2次元共形場理論の厳密な数学公理を与えるものと理解されている。これの性質のうちで最も注目されているのがモジュラー不変性で、トレイス関数の集合はモジュラー不変性を持つ。この結果は色々拡張され、自己同型のトレイス関数に対するモジュラー不変性や、研究代表者の宮本による保型形式論で重要なテータ関数の拡張、多変数型のトレイス関数のモジュラー不変性の証明などが示されている。本研究では、変数の拡張として、モジュラー関数やモジュラー不変性の観点からトレイス関数の拡張を導入することが自然に出来、それにより、共形場理論で問題となっていたlogarithmic型のトレイス関数の数学的な意味を明確にすることに成功した。また、モジュラー不変性との関係が予想されているテンソル積の研究を進め、C2有限条件の下で、テンソル積加群が自然に定義できることを示し、オービフォルド型の頂点作用素代数に対する応用を得た。また、ジーゲル型を与える多変数の基礎となるジョルダン代数をウエイト2の空間に持つ頂点作用素代数の一般的な構成に成功した。頂点作用素代数の範疇では、モジュラー不変性は群の積の形に対しても自然に対応することがこの研究を通して理解されたが、それ以上の多変数を与える本質的なものは見つかっていない。これを与えるものが何を意味するのかを見つけるのがこれからの問題であり、それが頂点作用素代数のさらなる拡張を与えるものと思われる。
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