2003 Fiscal Year Annual Research Report
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13440021
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
齋藤 恭司 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20012445)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高橋 篤史 京都大学, 数理解析研究所, 助手 (50314290)
森 重文 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00093328)
柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (60027381)
寺尾 宏明 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90119058)
岡 睦雄 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40011697)
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| Keywords | エータ関数 / ブレイド群 / 原始形式 / 平坦構造 / semi-algebraic geometry / 鏡映群 |
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| Research Abstract |
本年度は主に古典的有限ルート系に対応する幾何を中心に以下に述べる研究をおこなった。
I.有限ルート系に対する原始保型形式 1.有限鏡映群Wに対して定まる一般化された組み紐群A(W)のシンプレクチック群表現Г(W)を定めその生成系と基本関係式の予想を与えた(ランクが3以下の時は正しい事も示した)。更にГ(W)の不連続に作用する領域B(W)及びそれに対応するEisenstein級数の形におよびカスプ形式となるdiscriminant形式について一連の定式化を与えた。2.群Wに最大アベル指数k(W)を導入し、群Г(W)からZ/k(W)へのキャラクターθ_ωを定めた。一方、上記1.で予想したdiscriminant形式のk(W)位の巾根のある分岐がキャラクターθ_ω付きの保型形式となる予想をたてた。更に、ランクが2以下のA2型、B2型、G2型及びA3型の場合について予想を証明した。3.1.及び2.の成果は公表した。1.の予想を一般的証明を与える為,"Odd Root System"なる概念を導入した。特に2.の予想のうち一番対称性の高いD4型について現在preprintを作成中である。
II.有限ルート系に対する実半代数幾何 4.これまで標準的実形式S_<W,R>のみに対する理論であったのを任意の実形式S^<[u]>_<W,R>に対する理論に書き改めた。その為多面体が2つK^+_WとK^-_Wが構成され、discriminantの補集合に2成分出てくる事が自然に説明できる様になった。5.連結成分C^<[ε]>_±,原始ベクトル場、Dynkin図式の分解そしてコクセター元の固有ベクトル等の間の符号関係を定める符号定理を証明した。それにともないフェイス達の符号もコントロール出来る様になった。6.特性多様体C_wを群の立場から構成しそこからT_wへの分岐被覆の分岐因子は奇数ラベルのbifurcation setであることを示した。その特性多様体への逆像はDynkin図式状に隣接する実領域成分に分解することも判った。7.上記の奇数ラベルのbifurcation setが囲む領域が大実領域LE(W)となる他実領域E(W)小実領域SE(W)を導入しそれらの詳細な研究をおこなった。とくに実領域E(W)は単体隹となりそのフェイスはDynkin図式の辺の集合と一対一に対応することを示した。8.7.の実領域E(W)の記述を用いることにより、この理論の主要結果である多面体J^<[ε]>_WやK^<[ε]>_Wの記述やdiscriminantの補集合の基本群であるところのArtin群の生成系の幾何学的記述が得られる。9.以上の結果はそれ以前の結果と併せて公表される予定である。
III.エータ積のフーリエ係数の非負性について。10.デデキントのエータ関数の積のフーリエ係数の非負性について調べた。従来は、楕円的な場合やウエイト系に由来する特別な場合のみであったが一般的な形に書き改めた。
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Research Products
(6 results)
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[Publications] Kyoji Saito: "Uniformization of the Orbifold of a Finite Reflection Group"Proceedings related to the activity on Frobenius manifolds, quantum cohomology and singularities, Max Planck Institute for Math. Bonn, July 2002. (2002)
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[Publications] Kyoji Saito: "Non-negativity of Fourier Coefficients of Eta-products"Proceedings of 2nd conference on automorphic forms and related subject, Careac, Feb.2003. (2003)
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[Publications] Kyoji Saito: "Polyhedra dual to Weyl chamber decomposition(to appear)"(2004)
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[Publications] Masaki Kashiwara: "Truncated microsupport and holomorphic solutions of D-modules"Ann.Scient.Ec.Norm.Sup., 4^e serie. 36. 583-599 (2003)
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[Publications] Shigefumi Mori: "Bounding singular surfaces of general type in "Algebra, Arithmetic and Geometry with Applications" ed. by Christensen et al."Springer-Verlag. 143-174 (2003)
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[Publications] Atsushi Takahashi: "tt^* geometry of rank two"Internat.Math.Res.. 22(Notices). 1099-1114 (2004)
