正則化法の適用による逆問題・非適切問題の解の構成に対する数学解析と数値解析

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440031
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 磯 祐介 京都大学, 情報学研究科, 教授 (70203065)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田沼 一実 群馬大学, 工学部, 助教授 (60217156) ; 山本 昌宏 東京大学, 数理科学研究科, 助教授 (50182647) ; 西村 直志 学術情報メディアセンター, 教授 (90127118) ; 今井 仁司 徳島大学, 工学部, 教授 (80203298) ; 大西 和榮 茨城大学, 理学部, 教授 (20078554)
• Keywords: 非適切問題 / 逆問題 / 正則化法 / Tikhonov正則化法 / Lカーブ法 / 多倍長計算 / 第1種積分方程式 / 弾性方程式

Research Abstract

本研究においては工学や物理と関連した具体的な具体的な逆問題に対し、数学解析による解の一意性・安定性の議論のうえで再構成手法を確立し、その手法に基づく逆問題の解の数値解の構成法を確立することにある。
この目的のため、平成14年度は昨年度に引き続き(1)多倍長数値計算環境の構築と整備、(2)多倍長数値計算環境下における非適切問題の数値解析、(3)多倍長数値計算環境下におけるTikonov正則化法の研究特に最適な正則化パラメータの決定問題、に加え、(4)第一種積分方程式に対するスペクトル選点法にもとずく新しい数値解法の提案を行い、幾つかの成果を得た。
(1)--(3)の研究では、実用に耐える高速多倍長数値計算環境を構築・整備し、観測誤差が無い場合には多倍長数値計算環境の桁数の制御によって仮想的に丸め誤差の影響を排除する手法の提案と、解析函数を利用した逆問題の解の幾つかの再構成手法が数値的に実現できることを示した。さらに、観測誤差を含んだデータの場合の取り扱いについて、多倍長数値計算環境下におけるTikhonov正則化法等の正則化法の離散化について論じた。特にTikhonov正則化法の離散化においては、正則化パラーメタの最適選択にかかる従来からの研究(Lカーブ法など)には問題点があることを理論と数値例で示した。この研究では、逆問題の解の再構成においては、対象とする解に直接関わる先見的情報の数値計算への反映の重要性を改めて指摘した。
(4)の研究では、今井の提案するスペクトル選点法のアルゴリズムを、研究協力者の藤原宏志が改良を行い、多次元の第一種積分方程式の高精度解法への道を拓いた。さらに、この解法にもとずく数値実験を多倍長計算環境で行い、成果を得た。

Research Products

• [Publications] H.Fujiwara, Y.Iso: "Some Remarks on the Choice of Regularization Parameters under Multiple-Precision"Theoretical and Applied Mechanics. 51. 387-393 (2002)
• [Publications] 磯祐介, 藤原宏志: "多倍長計算による非適切問題の数値解析"日本計算数理工学会論文集. 第2号. 35-38 (2002)
• [Publications] M.kubo, C.Mehring, U.Hehl: "Activity Dynamics and propagation of synchronous S spiking in locally connected random networks"Biological Cybernetics. (in press). (2002)
• [Publications] 吉川仁, 西村直志, 小林昭一: "3次元時間域動弾性波動問題における境界積分方程式法のアルゴリズム改良と並列化"土木学会応用力学論文集. 5. 199-206 (2002)
• [Publications] 今井仁司, 竹内敏己, 坂口秀雄: "楕円型作用素のコーシー問題に対する無限精度数値シミュレーション"第52回理論応用力学講演会講演論文集. 195-196 (2003)
• [Publications] 今井卓司, 登坂宣好: "フィルタリングアルゴリズムを用いたトラス構造物の損傷同定解析"日本計算工学会論文集. 4. 63-71 (2002)