2004 Fiscal Year Annual Research Report

非線形波動方程式の外部問題

Research Project

Project/Area Number	13440049
Research Institution	KYUSHU UNIVERSITY
Principal Investigator	中尾慎宏九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10037278)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	川島秀一九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70144631) 柴田良弘早稲田大学, 理工学部, 教授 (50114088) 小川卓克東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20224107)
Keywords	非線形波動方程式 / 外部問題 / エネルギー減衰 / 時間大域解
Research Abstract	研究代表者の主な研究は、キルヒホッフ型非線形波動方程式の外部問題に対する時間大域解の存在とその時間減衰に関するものである。まずJ.J.Baeとの共同研究において、局在的かつ弱い非線形摩擦項をもつ場合について、解の評価にあらわれる様々な非線形項の時間可積分性を丁寧に証明することによって時間大域解の存在を証明した。摩擦項が非線形のゆえ、通常のエネルギー減衰が期待出来ないが、2次のエネルギーが減衰することを利用して目的を達した。領域の形状に条件をつけない点が特徴である。次に摩擦項が‘半分線形'の場合について同様の問題を考察した。この場合非線形項は空間遠方では線形であるが、有界領域においては強い非線形性を持ちうるので、解の評価に新しい工夫が必要である。ここでは星型領域が壊れる部分で、線形性と同じ摩擦効果をもつという仮定のもとで、エネルギー減衰、および、2次のエネルギー減衰を導きこれらを利用して目的を達した。さらに、障害物が二つ以上あり、一方はデリクレ境界条件、他方摩擦項を含むノイマン型という状況で、波動方程式の外部問題を考察し、局在的摩擦項のもとでエネルギー減衰評価を導いた。ノイマン型の境界値問題では解の境界の接線方向の微分をコントロールする必要があるが、有界領域におけるI.Lasiecka, G.Toriggianniの工夫を利用して克服できた。さらに、境界摩擦項が非線形、かつ、局在的摩擦項が‘半分線形'の場合に結果を拡張することが出来た。分担者川島はボルツマン方程式や双曲型保存則に関する非線形波動方程式を考察し、多くの興味深い結果を得た。分担者柴田はスペクトル解析にもとづいて圧縮性ナビアー方程式の外部領域を考察し、多くの興味深い結果を統一的導いた。分担者小川は非線形波動方程式、非線系シュレヂンガー方程式、調和流方程式など様々な非線形偏微分方程式の解の精密な正則性や挙動を証明した。