射影による超曲面の関数体の構造と幾何構造の比較研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640013
• Research Institution: NIIGATA UNIVERSITY
• Principal Investigator: 吉原 久夫 新潟大学, 理学部, 教授 (60114807)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 今野 一宏 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10186869) ; 大渕 朗 徳島大学, 総合科学部, 教授 (10211111) ; 田島 慎一 新潟大学, 工学部, 教授 (70155076) ; 徳永 浩雄 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30211395) ; 秋山 茂樹 新潟大学, 理学部, 助教授 (60212445)
• Keywords: ガロワ点 / ガロワ直線 / 超曲面 / 関数体 / 空間曲線 / ガロワ群

Research Abstract

3次元射影空間P^3(k)のd(≧4)次非特異非退化代数曲線をCとし,、その関数体をK=k(C)とする。P^3(k)の直線lでCと交わらないものを中心としたCから直線l_0への射影を考え,この射影が決める体の拡大をK/K_lとおく。この拡大の代数的構造とCの幾何学的構造の比較研究を行った。この拡大がガロワ拡大のとき,lをガロワ直線という。また,一方拡大K/K_lのガロワ閉包をL_lとし,ガロワ群Gal(L_l/K_l)をG_lとおく。これを直線lに対するガロワ群という。このとき,次の問題を中心にして研究を行った:
1.ガロワ直線をすべて見つけその分布の法則も見つけること。特にその本数を決定し,最大値を与える曲線の特徴付けも行うこと。またガロワ直線に対するガロワ群を決定すること。
2.各直線lに対するガロワ群G_lを求めてすべての中間体を決定し,それらを非特異モデルとする多様体を決定すること。
その結果次の成果を得た:Cを与えたときlが一般的ならG_lはd次対称群である。その結果そのようなlに対してはKとK_lに中間体は存在しないことが判明した。さらに詳しい結果を得るために,Cにlinearly normalを仮定して次の成果をえた:(1)G_lはPGL(4,k)の中への表現をもつこと。(2)Cの種数が1以上ならガロワ直線は有限個である。(3)dが5以上の素数ならガロワ直線は高々1本である。
上記の結果は一般的な場合のものであるので,個々の次数のときの詳しい研究も試みた。その結果d=4のとき楕円曲線になり次の成果を得た:(4)各4次曲線は3本のV_4直線をもつ。(5)J不変量が1のときのみ(4)の直線に加えてZ_4直線を4本もつ。しかもそれらの配置も決定した。

Research Products

• [Publications] Hisao Yoshihara: "Galois points for smooth hypersurfaces"Journal of Algebra. (発表予定).
• [Publications] Cristina Duyaguit: "Galois lines for normal elliptic space curves"Algebra Colloquium. (発表予定).