2002 Fiscal Year Annual Research Report
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13640020
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| Research Institution | Kyoto Institute of Technology |
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Principal Investigator |
朝田 衞 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 助教授 (30192462)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中岡 明 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (90027920)
米谷 文男 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (10029340)
三木 博雄 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 教授 (90107368)
岩塚 明 京都工芸繊維大学, 繊維学部, 教授 (40184890)
矢ヶ崎 達彦 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 助教授 (40191077)
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| Keywords | ガロア表現 / 基本群 / 写像類群 |
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| Research Abstract |
n点を指定した種数gの代数曲線のモデュライ空間をM_<g,n>/Q(Q:有理数体)とする。また、種数g(【greater than or equal】0)のコンパクトリーマン面からn(【greater than or equal】0)個の相異なる点を除いて得られるリーマン面の写像類群をΓ^n_gとする。このとき、M_<g,n>【cross product】Q^^-の代数的基本群はΓ^^^^n_g(^:profinite completion)と同型となる。
Profinite群Γ^^^^n_gについては、「任意の指数有限部分群の中心が自明である」か否かは(M_<g,n>が"anabelian"であるか否かと関係して)未解決の問題である。一方、写像類群Γ^n_gはΓ^^^^n_gの稠密な部分群と見なせることが知られている。それゆえ、Γ^^^^n_gが上記の性質を持つ為には、Γ^n_gも同じ性質を持つことが必要条件となる。Γ^n_gが同じ性質を持つことは既に知られているが、本年度は、n【greater than or equal】1の仮定の下で、この事実の群論的で簡単な証明を与えた。
Xを体k上定義された代数曲線で種数g(【greater than or equal】0)の完備なものからn(【greater than or equal】0)個のk-有理点をぬいたものとする。2-2g-n<0のとき(Xが"anabelian"のとき)、X【cross product】k^^-の代数的基本群は「任意の指数有限部分群の中心は自明となる」ことが知られている。一方、有限次代数体と代数曲線との類似は古くから知られているが、代数曲線において定数体をその代数閉包に拡大することの代数体における類似は1のべき根をすべて添加することと考えられている。そこで、k_∞を有限次代数体kに1のべき根をすべて添加して得られる体、Mをk_∞の最大不分岐ガロア拡大体とすると、ガロア群Gal(M/k_∞)は、「代数閉体上の代数曲線の代数的基本群」の類似物に相当するものと考えられる。本年度は、ガロア群Gal(M/k_∞)およびGal(M/k)も、"anabelian"な代数曲線の基本群と同じく、「任意の指数有限部分群の中心は自明となる」ことを示した。
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