多項式環と全順序半群環

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640025
• Research Institution: OKAYAMA UNIVERSITY
• Principal Investigator: 平野 康之 岡山大学, 理学部, 助教授 (90144732)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中島 惇 岡山大学, 環境理工学部, 教授 (30032824) ; 池畑 秀一 岡山大学, 環境理工学部, 教授 (20116429)
• Keywords: 環 / 加群 / モノイド / 多項式環 / 順序半群 / 零下イデアル / 半群環 / 微分作用素

Research Abstract

1.RがArmendariz環であるということと環Rの零化イデアルとその上の多項式環の零化イデアルの間に自然な一対一の対応がつくことが同値であることを示した。このことからArmendariz環がBaer環のとき,その上の多項式環もBaer環になることを示した。また,一般化を行うことにより,全順序半群環に対してquasi-Armendariz環の概念を得て,quasi-Baer環上の全順序半群環がまたquasi-Baer環になるための条件を得た。
2.環Rの任意のイデアルIに対して,加群Mで,Iで消されるMの部分加群が直和になるような環の構造を調べた。これは,加群Mに対して,イデアルIで消される部分加群を対応させるpreradicalが分裂するという条件,言い換えると,分裂トーション理論になることを考えることである。もし,環RのイデアルIがこの条件を満たし,RがI-トーションフリーであれば,Iを含む任意のイデアルHに対し,R/Hが右遺伝的右完全環になることを示した。更に,OsofskyとSmithの結果を応用して,環RのイデアルIに対して,対応するpreradicalが分裂すれば,環Rの任意の剰余環が素環の直和になることを示した。
3.環Rの単数群U(R)をRに左から自然に作用させるとき,軌道が有限個になるための必要十分はRが有限個の左単列環と有限環の直和になるであることを示した。
4.J.A.Jordanが1981年に可逆な微分を持たない微分環の存在を示したことに関連して,可換環上の可換なn個の微分作用素による非可換n変数多項式環がある条件の下で単純な微分環になることを示した。

Research Products

• [Publications] Yasuyuki Hirano: "On annihilator ideals of a polynomial ring over a noncommutative ring"Journal of Pure and Applied Algebra. 168. 45-52 (2002)
• [Publications] Yasuyuki Hirano: "On splitting super hereditary preradical"Communications in Algebra. (印刷中).
• [Publications] Yasuyuki Hirano: "Rings with finitely many orbits under the regular action"Lecture Notes in Pure and Appl.Math.(Dekker). (印刷中).
• [Publications] Naoki Hamaguchi: "Derivations of skew polynomial rings"Publications de l'Institute Mathematique. 72. 107-112 (2003)