2001 Fiscal Year Annual Research Report
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13640032
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
平峰 豊 熊本大学, 教育学部, 教授 (30116173)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
吉荒 聡 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (10230674)
伊藤 仁一 熊本大学, 教育学部, 教授 (20193493)
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| Keywords | 有限群 / 差集合 / 群環 / 指標 / 相対差集合 |
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| Research Abstract |
Uを有限群Gの自明でない部分群とする.Gのk-部分集合RがUを禁止群とする半正則相対差集合であるとは2条件(i)RはGのUの右剰余類分解の完全代表系である,(ii)Uに属さないGの任意の元gに対して,gをg=r_1r^<-1>_2(r_1,r_2∈R)の形に表す方法がちょうどλ通りある,をみたすことである.二面体群には禁止群が正規部分群であるような半正則相対差集合が存在しないことが証明されているが,この正規性の仮定を外せば位数8の二面体群のなかに半正則相対差集合の存在が知られている.また,実際には正規性がなくても有限幾何的には分割デザインが対応しその自己同型の中に点上正則に作用するものがとれる.正規性の条件を外せばどうなるかは興味ある問題といえる.今年度はexponentが極大の2群についてこの条件のもとでの研究を行った.対象となるのは一般四元数群Q_<2^n>,二面体群D_<2^n>,半二面体群SD_<2^n>,およびモデュラー2群M_n(2^n)である.このうちSD_<2^n>とM_n(2^n)については禁止群が中心に属さない位数2の元で生成されるときだけ考察すればよいことがわかり,条件を指数2巡回部分群の言葉で言い換えて,アーベル群の問題として見るという方法をとった.次が得られた結果である(Journal of Combinatorial Theory, Series Aに掲載決定).
定理Gを指数2の巡回部分群をもつ非可換2-群とする.Gが部分群Uに関する半正則相対差集合をもてば次のいずれかが成り立つ.
(i)G【similar or equal】Q_<2^<n+1>>,G〓U(【similar or equal】Z_2),(ii)n=2,G【similar or equal】D_8,G〓U(【similar or equal】Z_2),(iii)n=3,G【similar or equal】Q_<16>, G〓U(【similar or equal】Z_4),(iv)n=3,G【similar or equal】M_4(2),G〓U(【similar or equal】Z_4),(v)n=4,G【similar or equal】SD_<32>,G〓U(【similar or equal】Z_2),(vi)n=4,G【similar or equal】M_5(2),G〓U(【similar or equal】Z_2).
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[Publications] Y.Hiramine: "On Semi-Regular Relative Difference Sets in Non-Abelian p-Groups"Proc. of the 25th Ohio State-Denison Mathematics Conference. (掲載決定).
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[Publications] Y.Hiramine: "Semiregular relative difference sets in 2-groups containing a cyclic subgroup of index 2"Journal of Combinatorial Theory, Ser. A. (掲載決定).
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[Publications] Y.Hiranine: "On Sylow subgroups of abelian affine difference sets"Designs, Codes and Cryptography. Vol.22. 157-163 (2001)
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[Publications] Y.Hiramine: "Cubic Extension of Flag-Transitive Planes, I.Even Order"International Journal of Mathematics and Mathematical Science. Vol.25. 533-547 (2001)
