| Research Abstract |
位数muの群Gのk-部分集合Rが位数uの部分群Uに関して(m, u, k, r)差集合であるとはRがG/Uの代表系でG-Uの各元がxy^<-1>(x, y∈R)の形にちょうどr通りに表されることをいう。このようなRがあれば群の演算を利用してGの部分集合の族{Ra : a∈G}はGを点集合とみて分割デザインが構成される。またU=1なら対称デザインとなる。平成14年度には(m,u,k,r)=(2n,2,2n,n)差集合を中心に研究した。このような部分群U(=C_2位数2の巡回群)に関するGの(2n,2,2n,n)差集合Rが存在して、さらにUが正規部分群ならばRを利用してorder 2nのアダマール行列が構成できることが知られている。この意味で差集合の中でもこの助変数の差集合はよく調べられている。本研究の成果は以下の通りである。
定理1 位数4nの群Gが(2n,2,2n,n)差集合をもてばG=C_4であるかまたはnは偶数でかつGの2-Sylow群は非巡回群である。
この定理から単純群PSL(2,q)(q≡3,5 mod 8)は(2n,2,2n,n)差集合を持たないことが分かる。
さて、これまで知られていた(2n,2,2n,n)差集合の大部分はdi-cyclic群の中に構成されたものであった。本研究では、Gが指数2の(正規)部分群Nをもつ場合に多くの例が構成できることを示した。さらにそれがアダマール差集合と結びついている事実も示した。つまりG=N<t>とおきGの部分集合RがU=<t>に関する(2n,2,2n,n)差集合であると仮定すればR=A+Btとおける(ここでA, BはNの適当な部分集合)。Rtも(2n,2,2n,n)差集合であるから必要ならRをRtで置き換えることにより|A|≦|B|としてよいがこの条件のもとで次が成り立つ。
命題2 n=m^2の形に書けて、|N|=4m^2,|A|=2m^2-m, B=N-A^t, AA^<(-1)>+A^t(A^t)^<(-1)>=2(m^2+(m^2-m)N)である。逆に{N,A,t}がこの条件をみたせばR=A+(N-A^t)tはGの<t>に関する(4m^2,2,4m^2,2m^2)差集合となる。
上の命題2でもしAA^<(-1)>がt不変であればAはアダマール差集合となる。逆に次が言える。
命題3 位数4m^2の群Nが位数2の自己同型tをもち、かつアダマール差集合Aを含めばR=A+(N-A^t)は<t>に関する群G=N<t>の(4m^2,2,4m^2,2m^2)差集合である。
この命題により(2n,2,2n, n)差集合の今までに知られていない多くの例が与えられる。
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