2002 Fiscal Year Annual Research Report
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13640049
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
北岡 良之 名城大学, 理工学部, 教授 (40022686)
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| Keywords | 代数体 / 単数 / 類体論 / 密度 |
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| Research Abstract |
前年度に引き続き代数体の単数の分布を調べるのが目的である。いろいろな見方があると思われるが、我々の取った見方は類体論と解析数論を基礎にしている。類体論を基礎にする理由は代数体Fの整イデアルAに対してそれを導手にもつFのアーベル拡大体が決まりその拡大次数がFの類数とAを法として単数のなす部分群の指数との積となることが知られている。類数は非常に良く調べられているのに対し、指数についてはほとんど何も調べられていなかったといってよい。また単数の分布といっても暖昧な問題提起で何をどう定式化すればよいのかがなかった。そこでこの指数の値の分布が単数の分布の反映であるととらえる観点を採用しそれを解析的整数論の手法を用いて調べようとしている。現在までに実2次体と実3次体で判別式が負のものについてかなり詳細に調べ様子を見た。これらはNagoya Math. Journal, Journal of Number Theoryから既に出版された。問題は2次体や3次体に限らず一般の代数体で問題をどのように定式化するかであったがそれは一応完成した。細部においてより詳しく調べる必要はあるが大枠はこれで十分と思う。それによれば、実素点がある代数体Fにおいては素イデアルPを導手とするシュトラール類体は大雑把に言ってFのヒルペルト類体かそれと1のP乗根を有理数体に添加した円分体との合成体に一致するのが普通であるという驚くべき知見が得られた。大雑把に言ってといった部分を正確に決めるにはF固有の性質が反映して単数群の詳しい情報が必要となり今まで調べられていなかった面白い問題である。
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