離散群の剛性と指数定理

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640057
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 井関 裕靖 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90244409)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 藤原 耕二 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60229078) ; 小谷 元子 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50230024) ; 砂田 利一 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20022741) ; 納谷 信 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (70222180) ; 中川 泰宏 東北大学, 大学院・理学研究科, 講師 (90250662)
• Keywords: 離散群 / 剛性 / 指数定理 / 調和写像 / 共形平坦 / クライン群

Research Abstract

本研究の目的は,負曲率空間に作用する離散群のある種の剛性を,負曲率空間の理想境界の幾何学および離散群のコホモロジーに注目して考察することであった.研究期間中に,この目的に沿って以下のような成果が得られた.
Γをn次元球面に作用するクライン群とする.Γが凸ココンパクトならばその不連続領域の商空間はコンパクトであるが,その逆は一般には正しくない.しかし,極限集合が小さければこの逆が成立することが予想されていた.井関裕靖(研究代表者)は,この予想に対して,極限集合のハウスドルフ次元がn/2未満である場合に肯定的な解答を与えた.その応用として,正スカラー曲率をもっ共形平坦多様体の構造について,幾つかの結果を得た.
また,離散群の剛性と非正曲率空間の幾何の関連について,井関裕靖と納谷信は,単体複体から非正曲率距離空間への調和写像の概念,およびある種の積分公式を定式化し,p進リー群の格子に対し,マルグリスの超剛性の一般化とみなすことができる固定点定理を証明した.(論文は準備中.)
砂田利一は,結晶格子上のランダム・ウォークに対する大偏差に関連する性質について研究した.
小谷元子は,結晶格子上のランダム・ウォークの極限定理を幾何学的な視点から研究した.
藤原耕二は,3次元多様体および写像類群の有界コホモロジーについて研究した.
中川泰宏は,Fano多様体に対して定義される種々の安定性の間の関係を研究した.
納谷信は,離散群の研究への応用を念頭に置き,四元数双曲空間の理想境界の幾何構造の微分幾何学的な定式化を与えた.また,井関裕靖と共同で単体複体からの調和写像,その剛性問題への応用について研究した.

Research Products

• [Publications] 井関 裕靖: "高次元のクライン群の極限集合のハウスドルフ次元-収束指数と凸ココンパクト性-"数理解析研究所講究録. 1223. 61-68 (2001)
• [Publications] 井関 裕靖: "Convex-cocompactness of Kleinian groups and conformally flat Riemannian manifolds with positive scalar curvature"Proc.Amer.Math.Soc.. 130. 3731-3740 (2002)
• [Publications] 井関 裕靖: "組み合わせ調和写像と超剛性(能谷信氏と共著)"数理解析研究所講究録. 1270. 182-194 (2002)
• [Publications] 砂田 利一: "The pressure and higher correlation for an Anosov diffeomorphisms(with M.Kotani)"Ergod.Th.Dynam.Sys.. 21. 807-821 (2001)
• [Publications] 砂田 利一: "Geometrical aspects of large deviation for random walks on a crystal lattice (with M.Kotani)"Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis(Eds.T.Kawai and K.Fujita):プロシーディング. 186-199 (2002)
• [Publications] 小谷 元子: "A note on asymptotic expansions for closed geodesics in homology classes"Math.Ann.. 320. 507-529 (2001)
• [Publications] 小谷 元子: "A central limit theorem for magnetic transition operators on a crystal lattice"J.London.Math.Soc.. 65. 464-482 (2002)
• [Publications] 藤原 耕二: "The second bounded cohomology of 3-manifold groups(with K.Oshika)"Publ.Res.Inst.Math.Sci.. 38. 347-354 (2002)
• [Publications] 藤原 耕二: "Bounded classes in the cohomology of manifolds(with.T.Soma)"Geom.Dedicata. 92. 73-85 (2002)
• [Publications] 藤原 耕二: "Bounded cohomology of subgroups of mapping class groups(with M.Bestvina)"Geom.and Topol.. 6. 69-89 (2002)
• [Publications] 藤原 耕二: "On the outer automorphism group of a hyperbolic group"Israel J. of Math.. 131. 277-284 (2002)
• [Publications] 中川 泰宏: "Characters of automorphism groups associated with Kahler classes and functionals with cocycle conditions(with A.Futoki)"Kodai Math.J.. 24. 1-14 (2001)
• [Publications] 中川 泰宏: "An obstruction to semistability of manifolds(with T.Mabuchi)"Proc.Japan Acad.SerA. 77. 47-49 (2001)
• [Publications] 中川 泰宏: "Bando-Calabi-Futaki character of compact toric manifolds"Tohoku Math.J.. 53. 479-490 (2001)
• [Publications] 中川 泰宏: "The Bando-Calabi-Futaki character as an obstruction to semistability (with T.Mabuchi)"Math.Ann.. 324. 187-193 (2003)
• [Publications] 中川 泰宏: "The Bando-Calabi-Futaki character and its lifting to a group character"Math.Ann.. 325. 31-53 (2003)
• [Publications] 納谷 信: "Quaternionic analogue of CR geometry(with H.kondo)"Semin.Theor.Spectr.Geom.. 19. 41-52 (2001)
• [Publications] 納谷 信: "四元数CR幾何"大阪大学数学講義録(竹内勝先生メモリアル研究会). 7. 233-253 (2002)