多面体の全曲率を用いた無限遠での構造に関する研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640060
• Research Institution: Ibaraki University
• Principal Investigator: 大塚 富美子 茨城大学, 理学部, 助教授 (90194208)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 伊藤 仁一 熊本大学, 教育学部, 教授 (20193493) ; 卜部 東介 茨城大学, 理学部, 教授 (70145655) ; 大嶋 秀明 茨城大学, 理学部, 教授 (70047372)
• Keywords: 全曲率 / 多面体 / 平坦な多面体

Research Abstract

この研究では、研究の対象を2次元多面体(リーマン多様体上の測地三辺形を貼り合わせて出来る局所有限な複体の構造を持つ完備な多面体)と定め、特に非コンパクトな場合についてその幾何構造を全曲率を用いて特徴付けることを目指している。
町頭氏と研究代表者(大塚)との共著の論文では、離散的位相特異点をもつ比較的扱いやすい曲面に対し、全曲率(この論文ではtotal excessと呼んでいる)を定義し、その性質および特徴付けについての成果が発表されている。現在、この成果を更に拡張して、より一般の2次元多面体に対しても、その全曲率が自然に定義できることがわかった。しかし、対象が多面体であることにより、曲面の場合とは異なる現象も現れており、その差異を表す例を構成することもできた。これについては、研究分担者の伊藤仁一氏との共著の論文として発表したいと考えている。
また、全曲率を用いての多面体の分類も研究の目的の一つであるが、多面体の位相構造は非常に自由度が大きいために、分類問題を考えるためには、何に着眼するのかが非常に重要となる。そこで、まず各点での正則曲率・特異曲率がともに0となるような場合を考え、その構造を調べている。さて、比較定理の意味での曲率が定義されている空間として、アレキサンドロフ空間がある。2次元非正曲率を持つ単連結なアレキサンドロフ空間(2次元アダマール空間)は、多面体の構造を持つが、各点での特異曲率は必ずしも非正とは限らない。その意味で、アダマール空間との関連に注意しながら、平坦な多面体の構造を明らかにすることは興味深いことである。これについても、成果をまとめていきたい。

Research Products

• [Publications] Yoshiroh Machigashira, Fumiko Ohtsuka: "Total excess on length surfaces"Math. Ann.. 319. 675-706 (2001)
• [Publications] Hideaki Ooshima, Nobuaki Yagita: "Non commutativity of self homotopy groups"Kodai Math. J.. 24. 15-25 (2001)
• [Publications] Hideaki Ooshima: "Multiplications on a localized Hopf space"Math. J. Ibaraki Univ.. 33. 17-21 (2001)
• [Publications] Jin-ichi Itoh, Minoru Tanaka: "The Lipschitz continuity of the distance function to the cutlocus"Trans. of AMS. 353. 21-40 (2001)
• [Publications] Jin-ichi Itoh, Minoru Tanaka: "A Sard theorem for the distance function"Math. Ann.. 320. 1-10 (2001)
• [Publications] Jin-ichi Itoh: "Essential cutlocus of on a surface"Tohoku Math. Publ. 20. 53-59 (2001)