変分問題に関連した位相幾何学の研究と数式処理の研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640067
• Research Institution: The University of Electro-Communications
• Principal Investigator: 山口 耕平 電気通信大学, 電気通信学部, 教授 (00175655)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 木田 雅成 電気通信大学, 電気通信学部, 助教授 (20272057) ; 大野 真裕 電気通信大学, 電気通信学部, 助教授 (70277820) ; 内藤 俊機 電気通信大学, 電気通信学部, 教授 (60004446) ; 田吉 隆夫 電気通信大学, 電気通信学部, 教授 (60017382) ; 山田 裕一 電気通信大学, 電気通信学部, 講師 (30303019)
• Keywords: ホモトピー型 / labelled configuration space / 射影空間 / 正則写像 / モース理論的原理 / universal covering / だ円曲線 / 高次分岐群

Research Abstract

(1)調和写像の空間のトポロジーに関連してラベル付きの粒子の配置空間(labelled configuration space)のトポロジーとそれに関連した写像空間のトポロジーを研究した。具体的には,リーマン球から複素射影空間への正則空間のなす空間の各写像は、多項式の組みで与えられる。その各多項式の根の重複度からこの正則写像のなす空間に自然なフィルトライションが得られる。このフィルトライションから得られる各部分空間に対してモース理論的原理が成立することを証明した。またこれらと同様な性質(結果)がリーマン球からある種のquasi-projective spaceへの正則写像の作る空間に対しても、同様なモース理論的原理が成立することを証明した。
(2)さらに、古典群上のモース関数を具体的に作成することを、Mathematica(数式処理ソフト)を利用して研究した。とくに、ユニタリー群について、1次関数のモース関数の構成を研究した。
(3)G.Segal(1979)が初めて研究した有理関数の空間に対して、以前に、M.Guest氏達との共同研究でその具体的なホモトピー型を調べたが、そのときホモトピー群の分解が2次元以上で成立することが知られていた。その分解が実は、そのuniversal coveringレベルで分解していることを証明した。
(4)Vassiliev(1987)によるある種の多項式の空間のホモトピー型についての結果の精密化を証明した。またこの結果を次数dが小さい場合にそのホモトピー型を具体的に求めた。(これは、平田浩一氏(愛媛大学との共同研究である)
(5)だ円曲線の等分点を付け加えて得られる局所体の分岐について研究した。とくに、だ円曲線の導手のwild partから拡大の高次分岐群の様子が決定できることを示した。さらに、この結果を使って、分岐を持つbase changeをしたときの、だ円曲線の導手の変化の決定を行った。この結果はreduction typeの変化の記述にも使えるものと期待される。
(6)4次元球面に埋め込まれた曲面に沿う手術(surgery)によってホモトピー球面を構成する研究を行った。さらに、一般の4次元多様体内に埋め込まれた射影平面に沿う手術とそれにともなう曲面のイソトピー類の変型問題を研究した。

Research Products

• [Publications] Kohhei Yamaguchi: "Spaces of holomorphic maps with bounded multiplicity"Quart. J. Math.. 52. 249-259 (2001)
• [Publications] Kohhei Yamaguchi: "Spaces of polynomials with reaI roots of bounded multiplicity"J. Math. Kyoto Univ.. (to appaear).
• [Publications] Koichi Hirata, Kohhei Yamaguchi: "Spaces of polynomials without 3-fold real roots"J. Math. Kyoto Univ.. (to appaear).
• [Publications] Kohhei Yamaguchi: "Universal coverings of spaces of holomorphic maps"Kyushu J. Math.. 56(to appaear). (2002)
• [Publications] Masanari Kida: "Nonexistence of elliptic curves having good reduction everywhere over Certain quadratic fields"Archiv. Math. (Besel). 76. 436-440 (2001)
• [Publications] Masanari Kida: "Good reduction of elliptic curves over imaginary quadratic filesdst"J. de Theorie de Nombres de Bordeaux. 13. 201-209 (2001)