2001 Fiscal Year Annual Research Report
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13640086
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
横田 佳之 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (40240197)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
今井 淳 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (70221132)
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| Keywords | 体積予想 / 変形空間 / A-多項式 |
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| Research Abstract |
結び目の体積予想とは、有名なジョーンズ多項式の漸近挙動が、結び目の補空間の単体的体積を決定するという予想で、カシャエフ、村上順、村上斉によって定式化されました。
この研究の目的は、体積予想に関する研究を契機として、ジョーンズ多項式をはじめとする、結び目や三次元多様体の量子不変量の幾何的性賓を解明しすることにあります。
平成13年度の研究では、これまでの体積予想に関する研究で明らかになった、結び目の補空間の組み合わせ的な構造に関する研究をさらに進め、その成果として、
・ノイマン、ザギエ、吉田によって発見された、双曲構造の変形空間上で定義される解析関数
・デーン手術理論において中心的な役割を果たす、いわゆるA-多項式
など、計算困難であった重要な幾何的不変量を、組み合わせ的に計算する方法を開発しました。具体的には、結び目の図式から、補空間の四面体分割を通じて、結び目補空間の基本群の二次特殊線形群への表現を構成し、結び目の経線や緯線の表現の固有値を求めることで上の結果がえられました。
変形空間上で定義される解析関数は、体積とチャーン・サイモンズ不変量の解析的な関係を証明するために導入されたもので、結び目補空間を完備化して得られる三次元多様体の量子不変量の漸近挙動に現れる関数として期待されています。またA-多項式は、結び目補空間デーン手術で得られる非双曲多様体の分布と強い関係がある重要な不変量で、理論的な背景を考えると、量子不変量との関係についても今後明らかにできそうです。
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