Deformation Quantizationの幾何学・数理物理学への応用

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640088
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 吉岡 朗 東京理科大学, 理学部, 教授 (40200935)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 前田 吉昭 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (40101076) ; 原 民夫 東京理科大学, 工学部, 助教授 (10120205) ; 大森 英樹 東京理科大学, 理工学部, 教授 (20087018) ; 宮崎 直哉 慶應義塾大学, 経済学部, 助教授 (50315826)
• Keywords: Deformation quantization / Star product / non-commutative geometry / Hamiltonian mechanics / symplectic geometry / quantization

Research Abstract

本年度に得られた結果の概要は次のものである。
複素数体C上の2n生成元をもつワイル代数Wを考える。Wに順序表示(ordering expression)を指定すると、Wから2n次元複素ユークリッド空間上の多項式環P(C,2n)への線形同型写像を得る。この線形同型写像により、Wの非可換結合的な積をP(C,2n)に移し、P(C,2n)に非可換結合的な積^*(star積と呼ばれる)が定義できる。この積が、変形パラメータが数であるdeformation quantizationの例を与えることに注目した。
(i)このようにして得られたdeformation quantization (P(C,2n),^*)を適当な位相で完備化して非可換結合フレッシェ代数の族、(Ep((C,2n),^*)を得た。ここでパラメータpは0以上2未満の実数である。
(ii)また、標準的な順序表示としてワイル順序(Weyl ordering),正規順序(normal ordering),反正規順序(anti-normal ordering)があるが、これらについて詳しく調べた。それぞれの与える同型写像によるEp((C,2n)上のstar積^*を具体的に求め、さらにこの公式を利用してこれら3つのstar積^*の間の変換公式(intertwinning fomula)を得た。これらの変換公式を用いてフレッシェ代数の変換が得られるが、これが非可換代数の張り合わせを与えると見て、非可換な多様体のアイデアが得られる。
(iii)上記(ii)の具体例として、2次式の^*指数関数の作る非可換な多様体を詳しく調べた。
2次式の^*指数関数はフレッシェ代数(Ep((C,2n),^*)でパラメータpが2未満のものに属しておらず、指数関数を素朴な計算により定義することができない。したがって^*指数関数を微分方程式を用いて定義した。ワイル順序、正規順序、反正規順序のそれぞれについて^*指数関数を求めた。さらに、これらの間の変換公式も微分方程式により与え、これらを詳しく調べた。得られた非可換な多様体は、従来の意味の多様体ではなく、Hitchinらの議論しているgerbの構造をもつものであることがわかった。

Research Products

• [Publications] Akira Yoshioka: "Contact Weyl manifold over a Symplectic manifold"Advanced studies in pure mathematics. 37. 459-493 (2002)
• [Publications] Hideki Omori: "Associativity breaks down in deformation quantization"Advanced studies in pure mathematics. 37. 287-316 (2002)
• [Publications] Hideki Omori: "Star exponential functions for quadratic forms and polar elements"Contemporary Mathematics. 315. 25-38 (2002)
• [Publications] Naoya Miyazaki: "Mehler formula and localization in deformation quantization"数理研講究録. 1260. 126-147 (2002)
• [Publications] Hideki Omori: "One must break symmetry in order to keep associativity"Banach center publications. 55. 153-163 (2002)
• [Publications] Toshio Matsumoto, Akira Yoshioka: "Path Integral for Star Exponential Functions of quadratic forms"the proceedings of Varna conference 2002. (to appear).
• [Publications] Michel Dubois-Violette: "Smooth ^*-algebras"Progress of Theoretical Physics, supplement. 144. 54-78 (2002)
• [Publications] Yoshiaki Maeda: "Noncommutative geometry and string theory"日本物理学会、基礎物理研究所. 194 (2002)